Bir sınıftaki öğrencilerden matematik kursuna katılanların kümesi M, fizik kursuna katılanların kümesi F'dir. s(M) = s(F) = 12 ve s(M ∩ F) = 8 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) M ∪ F kümesinin eleman sayısı 16'dır
B) M ve F kümeleri eşittir
C) Sadece matematik kursuna katılanların sayısı 4'tür
D) Sadece fizik kursuna katılanların sayısı 4'tür
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, küme kavramlarını ve kümelerde eleman sayısı hesaplamalarını kullanarak verilen bilgileri değerlendireceğiz. Adım adım ilerleyerek doğru cevabı bulalım.
- 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Matematik kursuna katılanların kümesi $M$, eleman sayısı $s(M) = 12$.
- Fizik kursuna katılanların kümesi $F$, eleman sayısı $s(F) = 12$.
- Hem matematik hem de fizik kursuna katılanların kümesi $M \cap F$, eleman sayısı $s(M \cap F) = 8$.
- 2. $M \cup F$ Kümesinin Eleman Sayısını Bulalım:
- İki kümenin birleşiminin eleman sayısını bulmak için kullandığımız genel formül şudur: $s(M \cup F) = s(M) + s(F) - s(M \cap F)$.
- Şimdi verilen değerleri bu formülde yerine koyalım: $s(M \cup F) = 12 + 12 - 8$.
- Hesaplamayı yaparsak: $s(M \cup F) = 24 - 8 = 16$.
- Bu sonuç, A seçeneğinde verilen ifade ile aynıdır. Yani, A seçeneği kesinlikle doğrudur.
- 3. Sadece Matematik Kursuna Katılanların Sayısını Bulalım:
- Sadece matematik kursuna katılanlar, matematik kursuna katılanların toplam sayısından hem matematik hem de fizik kursuna katılanların sayısının çıkarılmasıyla bulunur. Bu ifade $s(M \setminus F)$ olarak gösterilir.
- Formülü uygulayalım: $s(M \setminus F) = s(M) - s(M \cap F)$.
- Verilen değerleri yerine koyalım: $s(M \setminus F) = 12 - 8 = 4$.
- Bu sonuç, C seçeneğinde verilen ifade ile aynıdır. Yani, C seçeneği de doğrudur.
- 4. Sadece Fizik Kursuna Katılanların Sayısını Bulalım:
- Sadece fizik kursuna katılanlar, fizik kursuna katılanların toplam sayısından hem matematik hem de fizik kursuna katılanların sayısının çıkarılmasıyla bulunur. Bu ifade $s(F \setminus M)$ olarak gösterilir.
- Formülü uygulayalım: $s(F \setminus M) = s(F) - s(M \cap F)$.
- Verilen değerleri yerine koyalım: $s(F \setminus M) = 12 - 8 = 4$.
- Bu sonuç, D seçeneğinde verilen ifade ile aynıdır. Yani, D seçeneği de doğrudur.
- 5. Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) $M \cup F$ kümesinin eleman sayısı 16'dır. Yukarıdaki hesaplamalarımızda $s(M \cup F) = 16$ bulduk. Bu ifade kesinlikle doğrudur.
- B) M ve F kümeleri eşittir. Kümelerin eşit olması için tüm elemanlarının aynı olması gerekir. $s(M) = 12$ ve $s(F) = 12$ olsa da, $s(M \cap F) = 8$ olduğu için, her iki kümede de sadece o kümeye ait 4'er eleman vardır. Dolayısıyla $M \neq F$. Bu ifade kesinlikle doğru değildir.
- C) Sadece matematik kursuna katılanların sayısı 4'tür. Yukarıdaki hesaplamalarımızda $s(M \setminus F) = 4$ bulduk. Bu ifade de doğrudur.
- D) Sadece fizik kursuna katılanların sayısı 4'tür. Yukarıdaki hesaplamalarımızda $s(F \setminus M) = 4$ bulduk. Bu ifade de doğrudur.
Yapılan hesaplamalar sonucunda A, C ve D seçeneklerinin doğru ifadeler olduğu görülmektedir. Ancak soruda bizden "kesinlikle doğru olan" ifadeyi bulmamız isteniyor ve genellikle bu tür sorularda, verilen temel formüllerden doğrudan elde edilen sonuçlardan biri doğru cevap olarak kabul edilir. $s(M \cup F)$ değeri, $s(M)$, $s(F)$ ve $s(M \cap F)$ değerleri verildiğinde en temel küme birleşim formülüyle doğrudan hesaplanan bir değerdir.
Cevap A seçeneğidir.
