X = {x | -3 ≤ x ≤ 2, x ∈ Z} ve Y = {y | |y| ≤ 2, y ∈ Z} kümeleri veriliyor. Bu kümeler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) X = Y
B) X ⊂ Y
C) Y ⊂ X
D) X ∩ Y = {-2, -1, 0, 1, 2}
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bize verilen iki kümenin elemanlarını belirleyip, aralarındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Küme X'in Elemanlarını Belirleyelim:
- Küme X, $X = \{x \mid -3 \leq x \leq 2, x \in Z\}$ şeklinde tanımlanmıştır.
- Bu tanım, x'in bir tam sayı ($x \in Z$) olduğunu ve -3'e eşit veya büyük, 2'ye eşit veya küçük olduğunu ifade eder.
- Bu koşulları sağlayan tam sayılar şunlardır: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$.
- O halde, $X = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}$'dir.
- 2. Küme Y'nin Elemanlarını Belirleyelim:
- Küme Y, $Y = \{y \mid |y| \leq 2, y \in Z\}$ şeklinde tanımlanmıştır.
- Bu tanım, y'nin bir tam sayı ($y \in Z$) olduğunu ve mutlak değerinin 2'ye eşit veya küçük olduğunu ifade eder.
- $|y| \leq 2$ eşitsizliği, $-2 \leq y \leq 2$ anlamına gelir.
- Bu koşulları sağlayan tam sayılar şunlardır: $-2, -1, 0, 1, 2$.
- O halde, $Y = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$'dir.
- 3. Seçenekleri Değerlendirelim:
- Şimdi bulduğumuz kümeleri kullanarak seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $X = Y$ mi?
- $X = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}$ ve $Y = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ kümeleri aynı değildir, çünkü X kümesinde -3 elemanı varken Y kümesinde yoktur.
- Dolayısıyla A seçeneği yanlıştır.
- B) $X \subset Y$ mi?
- Bir kümenin diğerinin alt kümesi olması için, ilk kümenin tüm elemanlarının ikinci kümede bulunması gerekir.
- X kümesinin elemanı olan -3, Y kümesinde bulunmamaktadır.
- Dolayısıyla X, Y'nin alt kümesi değildir. B seçeneği yanlıştır.
- C) $Y \subset X$ mi?
- Y kümesinin tüm elemanları X kümesinde bulunuyor mu bakalım:
- $-2 \in Y$ ve $-2 \in X$
- $-1 \in Y$ ve $-1 \in X$
- $0 \in Y$ ve $0 \in X$
- $1 \in Y$ ve $1 \in X$
- $2 \in Y$ ve $2 \in X$
- Evet, Y kümesinin tüm elemanları X kümesinde bulunmaktadır. Bu durumda Y, X'in bir alt kümesidir.
- Dolayısıyla C seçeneği doğrudur.
- D) $X \cap Y = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ mi?
- $X \cap Y$ kümesi, her iki kümede de ortak olan elemanlardan oluşur.
- $X = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}$
- $Y = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$
- Ortak elemanlar $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$'dir. Dolayısıyla $X \cap Y = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ ifadesi doğrudur. Ancak bu seçenek, kümeler arasındaki doğrudan bir alt küme ilişkisini değil, onların kesişim kümesini belirtmektedir. Soruda kümeler arasındaki temel ilişkiyi ifade eden seçenek arandığı için C seçeneği daha uygun bir cevaptır.
Yukarıdaki değerlendirmeler sonucunda, Y kümesinin tüm elemanları X kümesinde bulunduğundan ($Y \subset X$) ve X kümesinde Y kümesinde olmayan en az bir eleman (-3) bulunduğundan, Y kümesi X kümesinin bir alt kümesidir. Bu ilişki C seçeneğinde doğru bir şekilde ifade edilmiştir.
Cevap C seçeneğidir.
