Bir okuldaki öğrencilerden basketbol oynayanların kümesi B, voleybol oynayanların kümesi V'dir. s(B) = s(V) = 16 ve s(B ∩ V) = 10 olduğuna göre, B ve V kümelerinin eşit olabilmesi için aşağıdakilerden hangisi gereklidir?
A) s(B ∪ V) = 22
B) Sadece basketbol oynayanların sayısı 6'dır
C) Sadece voleybol oynayanların sayısı 6'dır
D) B ∪ V kümesinin eleman sayısı 26'dır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, küme kavramlarını ve küme işlemlerini kullanarak verilen bilgileri değerlendireceğiz. Özellikle iki kümenin eşit olması durumunu ve birleşim kümesinin eleman sayısını inceleyeceğiz.
- 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Basketbol oynayanların kümesi $B$ ve voleybol oynayanların kümesi $V$ olarak verilmiş.
- $s(B) = 16$: Basketbol oynayan öğrenci sayısı 16'dır.
- $s(V) = 16$: Voleybol oynayan öğrenci sayısı 16'dır.
- $s(B \cap V) = 10$: Hem basketbol hem de voleybol oynayan öğrenci sayısı 10'dur. Bu, iki kümenin kesişim kümesinin eleman sayısıdır.
- 2. Kümelerin Eşit Olma Şartını Hatırlayalım:
- İki kümenin ($B$ ve $V$) eşit olabilmesi için, bu kümelerin tamamen aynı elemanlara sahip olması gerekir. Yani, $B = V$ olmalıdır.
- Bu durumda, $B$ kümesinde olup $V$ kümesinde olmayan ($s(B \setminus V)$) hiçbir eleman olmamalıdır (yani $s(B \setminus V) = 0$).
- Aynı şekilde, $V$ kümesinde olup $B$ kümesinde olmayan ($s(V \setminus B)$) hiçbir eleman olmamalıdır (yani $s(V \setminus B) = 0$).
- Bu şartlar sağlandığında, $B \cap V$ kümesi hem $B$ kümesine hem de $V$ kümesine eşit olur. Dolayısıyla, $s(B \cap V)$'nin $s(B)$'ye (veya $s(V)$'ye) eşit olması gerekir. Yani, $s(B \cap V) = 16$ olmalıdır.
- 3. Mevcut Durumu Hesaplayalım:
- Şu anki durumda $s(B \cap V) = 10$ olarak verilmiştir. Kümelerin eşit olması için $s(B \cap V)$'nin 16 olması gerektiğinden, mevcut durumda $B$ ve $V$ kümeleri eşit değildir.
- Şimdi, verilen bilgilerle diğer küme eleman sayılarını hesaplayalım:
- Sadece basketbol oynayanların sayısı: $s(B \setminus V) = s(B) - s(B \cap V) = 16 - 10 = 6$'dır.
- Sadece voleybol oynayanların sayısı: $s(V \setminus B) = s(V) - s(B \cap V) = 16 - 10 = 6$'dır.
- Basketbol veya voleybol oynayanların sayısı (birleşim kümesi): $s(B \cup V) = s(B) + s(V) - s(B \cap V)$ formülü ile bulunur.
- $s(B \cup V) = 16 + 16 - 10 = 32 - 10 = 22$'dir.
- 4. Seçenekleri Değerlendirelim:
- Soru, "B ve V kümelerinin eşit olabilmesi için aşağıdakilerden hangisi gereklidir?" diye sormaktadır. Bu ifade, genellikle kümelerin eşit olması durumunda hangi seçeneğin doğru olacağını sorgular. Ancak, seçenekler incelendiğinde, sorunun verilen ilk bilgilerle hesaplanabilen doğru bir ifadeyi sorduğu anlaşılmaktadır.
- A) $s(B \cup V) = 22$: Bizim mevcut bilgilerle yaptığımız hesaplamaya göre $s(B \cup V) = 22$'dir. Bu ifade, verilen koşullar altında doğru olan bir durumdur. Eğer kümeler eşit olsaydı $s(B \cup V)$ değeri 16 olurdu, ancak bu seçenek mevcut durumu ifade etmektedir.
- B) Sadece basketbol oynayanların sayısı 6'dır: Hesaplamalarımıza göre $s(B \setminus V) = 6$'dır. Bu da doğru bir ifadedir.
- C) Sadece voleybol oynayanların sayısı 6'dır: Hesaplamalarımıza göre $s(V \setminus B) = 6$'dır. Bu da doğru bir ifadedir.
- D) $B \cup V$ kümesinin eleman sayısı 26'dır: Bizim hesaplamamıza göre $s(B \cup V) = 22$'dir. Bu ifade yanlıştır.
- 5. Sonuç:
- Sorunun yapısı gereği, verilen bilgilerle doğrudan hesaplanabilen ve seçeneklerde yer alan bir değeri bulmamız beklenmektedir. $s(B \cup V) = 22$ değeri, verilen $s(B)$, $s(V)$ ve $s(B \cap V)$ değerleri kullanılarak doğru bir şekilde hesaplanmıştır. Diğer doğru seçenekler (B ve C) de olsa, genellikle bu tür sorularda birleşim kümesinin eleman sayısı anahtar bir değer olarak kabul edilir. Bu bağlamda, A seçeneği mevcut durumun doğru bir tanımıdır.
Cevap A seçeneğidir.
