Devirli ondalık sayı formülü (Rasyonel sayıya çevirme) Test 1

Bir öğrenci 1,2̅3̅ sayısını rasyonel sayıya çevirirken aşağıdaki işlemleri yapmıştır:
Sayı: 1,232323...
100x = 123,232323...
x = 1,232323...
99x = 122
x = 122/99
Bu çözümde hangi hata yapılmıştır?

A) Virgül kaydırma hatası
B) Devirli kısım yanlış belirlenmiş
C) Tam kısım dikkate alınmamış
D) Çıkarma işlemi yanlış yapılmış

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, devirli bir ondalık sayıyı rasyonel sayıya çevirirken yapılan bir hatayı bulmamız isteniyor. Adım adım inceleyelim:

• Soruda Verilen Sayı: Öğrencinin $1,2\overline{3}$ sayısını rasyonel sayıya çevirmesi isteniyor. Bu sayı $1.23333...$ şeklinde devam eder. Yani virgülden sonraki '2' devretmezken, '3' devreden kısımdır.
• Öğrencinin Yaptığı İşlem: Öğrenci, sayıyı $1,232323...$ olarak kabul etmiş. Bu sayı aslında $1,\overline{23}$ demektir. Yani öğrenci, virgülden sonraki '23' kısmının devrettiğini düşünmüş.
• Öğrencinin Çözüm Adımları:
  • Sayıyı $x = 1,232323...$ olarak belirlemiş.
  • Devreden kısım iki basamaklı olduğu için sayıyı $100$ ile çarpmış: $100x = 123,232323...$
  • $100x$ değerinden $x$ değerini çıkarmış: $100x - x = 123,232323... - 1,232323...$
  • Sonuç olarak $99x = 122$ bulmuş.
  • Buradan da $x = \frac{122}{99}$ sonucuna ulaşmış.

  Bu işlemler, $1,\overline{23}$ sayısını rasyonel sayıya çevirmek için doğrudur.

• Doğru Çözüm Nasıl Olmalıydı?

  Eğer öğrenci $1,2\overline{3}$ sayısını doğru bir şekilde çevirseydi, adımlar şöyle olmalıydı:

  • $y = 1,2\overline{3} = 1.23333...$ olsun.
  • Önce devretmeyen kısım (virgülden sonraki '2') virgülden kurtulacak şekilde $10$ ile çarpılır: $10y = 12,3333...$
  • Sonra devreden kısım (virgülden sonraki '3') bir kez virgülden kurtulacak şekilde $100$ ile çarpılır: $100y = 123,3333...$
  • Bu iki denklem birbirinden çıkarılır: $100y - 10y = 123,3333... - 12,3333...$
  • $90y = 111$
  • $y = \frac{111}{90}$ (Sadeleştirilirse $y = \frac{37}{30}$)
• Yapılan Hatanın Tespiti:

  Öğrencinin yaptığı işlemde, $100x - x$ çıkarma işlemi kullanılmıştır. Bu yöntem, devreden kısmın doğrudan virgülden sonra başladığı sayılar için (örneğin $1,\overline{23}$) uygundur. Ancak $1,2\overline{3}$ sayısında virgülden sonra '2' devretmeyen bir basamaktır.

  Doğru yöntemde, $123 - 12 = 111$ çıkarma işlemi yapılır. Burada '12', sayının tam kısmı ve devretmeyen ondalık kısmının birleşimidir. Öğrenci ise $123 - 1 = 122$ çıkarma işlemini yapmıştır. Yani, devretmeyen ondalık kısım olan '2'yi çıkarma işleminde dikkate almamıştır. Sadece tam kısım olan '1'i çıkarmıştır.

  Bu durum, "Tam kısım dikkate alınmamış" ifadesiyle açıklanabilir. Çünkü öğrenci, devretmeyen ondalık kısım olan '2'yi, çıkarma işleminde tam kısımla birlikte ele almamış, sadece tam kısmı çıkarmıştır. Bu, devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirirken yapılan yaygın bir hatadır.

Cevap C seçeneğidir.