KPSS Kümeler konu anlatımı Test 1

Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı matematikten, %70'i fizikten başarılıdır. Her iki dersten başarısız olan öğrenci olmadığına göre, her iki dersten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi kaçtır?

A) %10
B) %20
C) %30
D) %40
E) %50

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problem, kümeler ve yüzdeler konusunu birleştiren güzel bir soru. Adım adım düşünerek kolayca çözebiliriz.

• Problemi Anlayalım:

  Bir sınıftaki öğrencilerin tamamı %100'dür. Bize verilen bilgiler şunlar:

  • Matematikten başarılı olanlar: %60
  • Fizikten başarılı olanlar: %70
  • Çok önemli bilgi: Her iki dersten başarısız olan öğrenci yok. Bu ne demek? Demek ki her öğrenci ya matematikten başarılı, ya fizikten başarılı ya da her ikisinden de başarılı. Yani, matematikten başarılı olanlar kümesi ile fizikten başarılı olanlar kümesinin birleşimi, sınıfın tamamını (%100'ünü) oluşturuyor.
• Kümeler Mantığını Kullanalım:

  Matematikten başarılı olan öğrencilerin kümesini $M$, fizikten başarılı olan öğrencilerin kümesini $F$ ile gösterelim. Bizden istenen, her iki dersten de başarılı olan öğrencilerin yüzdesi, yani $M$ ve $F$ kümelerinin kesişimi ($M \cap F$).

  Kümelerde birleşim formülünü hatırlayalım:

  $P(M \cup F) = P(M) + P(F) - P(M \cap F)$

  Burada $P()$ yüzdeyi temsil ediyor.

• Bilgileri Formüle Yerleştirelim:
  • $P(M) = \%60$ (Matematikten başarılı olanlar)
  • $P(F) = \%70$ (Fizikten başarılı olanlar)
  • Her iki dersten başarısız öğrenci olmadığı için, tüm öğrenciler en az bir dersten başarılıdır. Bu da demektir ki, matematikten veya fizikten başarılı olanların toplamı sınıfın tamamıdır: $P(M \cup F) = \%100$.

  Şimdi bu değerleri formülümüze yazalım:

  $\%100 = \%60 + \%70 - P(M \cap F)$

• Denklemi Çözelim:

  Önce sağ taraftaki yüzdeleri toplayalım:

  $\%100 = \%130 - P(M \cap F)$

  Şimdi $P(M \cap F)$'yi bulmak için denklemi yeniden düzenleyelim. $P(M \cap F)$'yi sol tarafa, %100'ü sağ tarafa atalım:

  $P(M \cap F) = \%130 - \%100$

  $P(M \cap F) = \%30$

Bu sonuç, her iki dersten de başarılı olan öğrencilerin sınıfın %30'u olduğunu gösterir.

Cevap C seçeneğidir.