Birinci bölgede aşağıdaki trigonometrik fonksiyonlardan hangisi pozitiftir?
Bu soruda, trigonometrik fonksiyonların işaretlerini bölgelere göre nasıl belirlediğimizi hatırlayacağız. Özellikle birinci bölgeye odaklanacağız.
Öncelikle, bir koordinat sistemini gözünüzde canlandıralım. Bu sistemde dört ana bölge bulunur. Saat yönünün tersine doğru numaralandırılırlar.
Birinci Bölge: $x$ ve $y$ koordinatlarının her ikisinin de pozitif olduğu bölgedir. Açı değerleri $0^\circ$ ile $90^\circ$ (veya $0$ ile $\frac{\pi}{2}$ radyan) arasındadır. Soru birinci bölgeyi sorduğu için bu bilgi bizim için çok önemlidir.
Trigonometrik fonksiyonları birim çember (merkezi orijinde olan ve yarıçapı $1$ birim olan çember) üzerinde düşünmek, işaretlerini anlamak için çok faydalıdır. Birim çember üzerindeki bir $P(x, y)$ noktası için, bir $\theta$ açısı ile şu ilişkiler vardır:
Sinüs ($\sin(\theta)$): Birim çember üzerindeki noktanın $y$ koordinatıdır.
Kosinüs ($\cos(\theta)$): Birim çember üzerindeki noktanın $x$ koordinatıdır.
Tanjant ($\tan(\theta)$): Birim çember üzerindeki noktanın $y$ koordinatının $x$ koordinatına oranıdır, yani $\frac{y}{x}$'tir.
Şimdi bu bilgileri birinci bölgeye uygulayalım. Birinci bölgede $x$ değerleri pozitif ve $y$ değerleri de pozitiftir.
Sinüs ($\sin(\theta)$): Birinci bölgede $y$ koordinatları her zaman pozitiftir. Dolayısıyla, $\sin(\theta)$ bu bölgede pozitiftir.
Kosinüs ($\cos(\theta)$): Birinci bölgede $x$ koordinatları her zaman pozitiftir. Dolayısıyla, $\cos(\theta)$ bu bölgede pozitiftir.
Tanjant ($\tan(\theta)$): Birinci bölgede hem $y$ hem de $x$ koordinatları pozitiftir. $\tan(\theta) = \frac{y}{x}$ olduğu için, pozitif bir sayının pozitif bir sayıya bölümü yine pozitif olacaktır. Dolayısıyla, $\tan(\theta)$ bu bölgede pozitiftir.
Gördüğümüz gibi, birinci bölgede sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının hepsi pozitif değerler alır. Bu durumu "Tüm sınıf kara tahtada coştu" veya "All Students Take Calculus" gibi akılda kalıcı tekerlemelerle de hatırlayabiliriz. Bu tekerlemelerde "All" (Tüm) kelimesi birinci bölgede tüm fonksiyonların pozitif olduğunu ifade eder.
Cevap D seçeneğidir.
