tan(2x) = 1 denkleminin [0, π) aralığındaki çözümleri nedir?
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir trigonometrik denklemin belirli bir aralıktaki çözümlerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Bize verilen denklem $\tan(2x) = 1$. Bu, tanjantı $1$ olan açıları bulmamız gerektiği anlamına geliyor.
Tanjant değeri $1$ olan en bilinen açı $\frac{\pi}{4}$ radyan veya $45^\circ$'dir. Yani, $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
Genel olarak, $\tan(\theta) = k$ şeklindeki bir denklemin çözümü $\theta = \arctan(k) + n\pi$ formülüyle bulunur, burada $n$ bir tam sayıdır. Tanjant fonksiyonunun periyodu $\pi$ olduğu için, her $\pi$ radyan sonra aynı değeri tekrar eder.
Bizim denklemimizde $\theta = 2x$ ve $k = 1$ olduğu için, genel çözümümüz:
$2x = \frac{\pi}{4} + n\pi$
$x$'i yalnız bırakmak için denklemin her iki tarafını $2$'ye bölelim:
$x = \frac{\frac{\pi}{4} + n\pi}{2}$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}$
Şimdi $n$ yerine farklı tam sayı değerleri koyarak $x$'in $[0, \pi)$ aralığındaki değerlerini bulalım.
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{0 \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{8}$
Bu değer $[0, \pi)$ aralığındadır ($0 \le \frac{\pi}{8} < \pi$).
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{1 \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{8} + \frac{4\pi}{8} = \frac{5\pi}{8}$
Bu değer de $[0, \pi)$ aralığındadır ($0 \le \frac{5\pi}{8} < \pi$).
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{2 \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{8} + \pi = \frac{9\pi}{8}$
Bu değer $\pi$'den büyüktür, yani $[0, \pi)$ aralığında değildir ($\frac{9\pi}{8} \not< \pi$). Bu yüzden daha büyük $n$ değerleri için de aralık dışına çıkacaktır.
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{-1 \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{8} - \frac{4\pi}{8} = -\frac{3\pi}{8}$
Bu değer $0$'dan küçüktür, yani $[0, \pi)$ aralığında değildir.
Buna göre, denklemin $[0, \pi)$ aralığındaki çözümleri $\frac{\pi}{8}$ ve $\frac{5\pi}{8}$'dir.
Bu çözümler seçeneklerde A şıkkında verilmiştir.
Cevap A seçeneğidir.
