tan(x) = a denkleminin çözümü Test 1

tan(x) = 2 denkleminin bir çözümü x = arctan(2) ise, diğer çözümler nasıl ifade edilir?

A) x = arctan(2) + kπ, k ∈ Z
B) x = arctan(2) + 2kπ, k ∈ Z
C) x = π - arctan(2) + kπ, k ∈ Z
D) x = arctan(2) + kπ/2, k ∈ Z

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, $\tan(x) = 2$ denkleminin bir çözümü olan $x = \arctan(2)$ verildiğinde, diğer çözümlerin nasıl ifade edildiğini bulmamız isteniyor. Trigonometrik denklemlerin genel çözümlerini bulurken, ilgili trigonometrik fonksiyonun periyodik özelliklerini kullanırız.

• 1. Tanjant Fonksiyonunun Periyodik Özelliğini Hatırlayalım:

  Tanjant fonksiyonu, periyodik bir fonksiyondur. Bu, fonksiyonun değerlerinin belirli bir aralıkta tekrar ettiği anlamına gelir. Tanjant fonksiyonunun periyodu $\pi$ (veya $180^\circ$) radyan'dır. Yani, herhangi bir $\theta$ açısı için $\tan(\theta) = \tan(\theta + k\pi)$ eşitliği geçerlidir, burada $k$ bir tam sayıdır ($k \in Z$). Bu özellik, tanjant değerinin her $\pi$ radyanlık dönüşte aynı kaldığını gösterir.

• 2. Verilen Çözümü Kullanarak Genel Çözümü Bulalım:

  Bize denklemin bir çözümünün $x_0 = \arctan(2)$ olduğu verilmiş. Bu, $\tan(x_0) = \tan(\arctan(2)) = 2$ demektir.

  Tanjant fonksiyonunun periyodik özelliğine göre, eğer $x_0$ bir çözümse, $x_0$'a $\pi$'nin tam katlarını eklediğimizde de aynı tanjant değerini elde ederiz. Yani, $\tan(x_0 + k\pi) = \tan(x_0) = 2$ olacaktır.

  Bu durumda, $\tan(x) = 2$ denkleminin genel çözümü şu şekilde ifade edilir:

  $x = x_0 + k\pi$

  $x = \arctan(2) + k\pi$

  Burada $k$, herhangi bir tam sayıyı temsil eder ($k \in Z$). Bu, $\arctan(2)$ açısına $0, \pm\pi, \pm2\pi, \pm3\pi, \dots$ gibi değerler ekleyerek denklemi sağlayan tüm açıları bulabileceğimiz anlamına gelir.

• 3. Seçenekleri İnceleyelim:
  • A) $x = \arctan(2) + k\pi, k \in Z$: Bu ifade, tanjant fonksiyonunun periyodik özelliğini doğru bir şekilde yansıtır ve bulduğumuz genel çözüme uyar.
  • B) $x = \arctan(2) + 2k\pi, k \in Z$: Bu, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodudur, tanjantın değil. Tanjantın periyodu $\pi$'dir, $2\pi$ değil.
  • C) $x = \pi - \arctan(2) + k\pi, k \in Z$: Bu ifade, $\tan(\pi - \theta) = -\tan(\theta)$ olduğu için yanlış bir çözüm kümesi verir. Bizim denklemimiz $\tan(x)=2$ iken, $\tan(\pi - \arctan(2)) = -\tan(\arctan(2)) = -2$ olurdu, bu da $2$'ye eşit değildir.
  • D) $x = \arctan(2) + k\pi/2, k \in Z$: Bu, tanjantın periyodunun yarısıdır ve yanlış bir genellemedir.

Bu adımları takip ettiğimizde, doğru çözümün A seçeneğinde verildiğini görürüz.

Cevap A seçeneğidir.