KPSS Açıortay teoremleri Test 1

ABC üçgeninde [AD] iç açıortay, |AB| = 12 cm, |AC| = 18 cm, |BC| = 15 cm ise |BD| ve |DC| uzunlukları sırasıyla kaç cm'dir?

A) 6 ve 9
B) 7 ve 8
C) 5 ve 10
D) 4 ve 11
E) 8 ve 7

Bu soruda, bir üçgende iç açıortayın karşı kenarı böldüğü parçaların uzunluklarını bulmamız isteniyor. Bunun için geometri derslerinde öğrendiğimiz "İç Açıortay Teoremi"ni kullanacağız.

• 1. Adım: İç Açıortay Teoremi'ni Hatırlayalım

  Bir üçgende bir köşeden çıkan iç açıortay, karşı kenarı diğer iki kenarın oranında böler. Yani, ABC üçgeninde [AD] iç açıortay ise, A köşesinden çıkan açıortay BC kenarını D noktasında böler ve aşağıdaki oran geçerli olur:

  $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|}$

• 2. Adım: Verilen Bilgileri Yerine Yazalım

  Soruda bize verilen uzunluklar şunlardır: $|AB| = 12$ cm, $|AC| = 18$ cm ve $|BC| = 15$ cm.

  Bizden $|BD|$ ve $|DC|$ uzunlukları isteniyor. Bilinmeyen uzunlukları temsil etmek için değişken kullanalım. $|BD|$ uzunluğuna $x$ diyelim. Bu durumda $|DC|$ uzunluğu, toplam $|BC|$ uzunluğundan $|BD|$ uzunluğunu çıkararak bulunur: $|DC| = |BC| - |BD| = 15 - x$ cm olur.

• 3. Adım: Oranı Kuralım ve Denklemi Çözelim

  Şimdi İç Açıortay Teoremi'ni kullanarak denklemi kuralım ve bilinen değerleri yerine yazalım:

  $\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|}$

  $\frac{12}{18} = \frac{x}{15 - x}$

  Öncelikle $\frac{12}{18}$ oranını sadeleştirelim. Her iki sayıyı da 6'ya bölebiliriz:

  $\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$

  Şimdi denklemimiz daha basit bir hale geldi:

  $\frac{2}{3} = \frac{x}{15 - x}$

  Bu denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapalım:

  $2 \cdot (15 - x) = 3 \cdot x$

  Parantezi dağıtalım:

  $30 - 2x = 3x$

  Şimdi $x$ terimlerini bir araya getirelim. $-2x$'i eşitliğin diğer tarafına $+2x$ olarak atalım:

  $30 = 3x + 2x$

  $30 = 5x$

  Her iki tarafı 5'e bölelim ve $x$ değerini bulalım:

  $x = \frac{30}{5}$

  $x = 6$ cm

• 4. Adım: $|BD|$ ve $|DC|$ Uzunluklarını Bulalım

  Biz $|BD|$ uzunluğuna $x$ demiştik. O halde:

  $|BD| = 6$ cm

  $|DC|$ uzunluğu ise $15 - x$ idi. Şimdi $x$ değerini yerine koyalım:

  $|DC| = 15 - 6 = 9$ cm

Buna göre, $|BD|$ ve $|DC|$ uzunlukları sırasıyla 6 cm ve 9 cm'dir.

Cevap A seçeneğidir.