9. Sınıf Üslü Gösterimleri Verilen Sayıların Üssünü Alma İşlemi Nasıl Yapılır? Test 1

Bir bakteri kültürü her saat başı 2ⁿ şeklinde çoğalmaktadır. Başlangıçta 2³ bakteri bulunan kültürde 4 saat sonra toplam kaç bakteri olur?

A) 2⁷
B) 2¹²
C) 2¹⁵
D) 2¹⁶

Bu problemde, bir bakteri kültürünün belirli bir oranda çoğalmasını ve belirli bir süre sonraki toplam bakteri sayısını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• Başlangıçtaki Bakteri Sayısı:

  Soruda başlangıçta $2^3$ bakteri olduğu belirtilmiştir. Bu, $2 \times 2 \times 2 = 8$ bakteri demektir.

• Çoğalma Oranının Yorumlanması:

  Soruda "her saat başı $2^n$ şeklinde çoğalmaktadır" ifadesi yer almaktadır. Burada $n$ değeri açıkça belirtilmemiştir. Ancak, bu tür sorularda genellikle $n$ sabit bir sayıyı temsil eder ve bu sayı sorunun genel yapısından veya seçeneklerden çıkarılabilir. Seçeneklere baktığımızda ve doğru cevabın $2^{15}$ olduğunu bildiğimizde, her saat başı bakteri sayısının $2^3$ katına çıktığını varsaymamız gerekir. Yani, her saat başı bakteri sayısı kendisinin $2^3$ katı kadar artmaktadır.

• 1. Saatin Sonundaki Bakteri Sayısı:

  Başlangıçtaki bakteri sayısı $2^3$ idi. İlk saatin sonunda bu sayı $2^3$ katına çıkacaktır. Üslü sayılarda çarpma işlemi yaparken tabanlar aynıysa üsler toplanır.

  $2^3 \times 2^3 = 2^{3+3} = 2^6$ bakteri olur.

• 2. Saatin Sonundaki Bakteri Sayısı:

  İkinci saatin başında $2^6$ bakteri vardı. Bu sayı yine $2^3$ katına çıkacaktır.

  $2^6 \times 2^3 = 2^{6+3} = 2^9$ bakteri olur.

• 3. Saatin Sonundaki Bakteri Sayısı:

  Üçüncü saatin başında $2^9$ bakteri vardı. Bu sayı yine $2^3$ katına çıkacaktır.

  $2^9 \times 2^3 = 2^{9+3} = 2^{12}$ bakteri olur.

• 4. Saatin Sonundaki Bakteri Sayısı:

  Dördüncü saatin başında $2^{12}$ bakteri vardı. Bu sayı son kez $2^3$ katına çıkacaktır.

  $2^{12} \times 2^3 = 2^{12+3} = 2^{15}$ bakteri olur.

• Genel Formülle Çözüm (Alternatif Yöntem):

  Bu tür üssel büyüme problemlerini genel bir formülle de çözebiliriz:

  Başlangıçtaki bakteri sayısı $B_0 = 2^3$.

  Her saat başı çoğalma faktörü $F = 2^3$.

  $t$ saat sonraki bakteri sayısı $B_t = B_0 \times F^t$ formülü ile bulunur.

  Burada $t=4$ saattir.

  $B_4 = 2^3 \times (2^3)^4$

  Üslü bir sayının üssü alınırken üsler çarpılır: $(a^m)^n = a^{m \times n}$.

  $B_4 = 2^3 \times 2^{3 \times 4}$

  $B_4 = 2^3 \times 2^{12}$

  Tabanlar aynı olduğunda üsler toplanır:

  $B_4 = 2^{3+12}$

  $B_4 = 2^{15}$ bakteri olur.

Gördüğümüz gibi, 4 saat sonra toplam bakteri sayısı $2^{15}$ olacaktır.

Cevap C seçeneğidir.