Arctan (arktan) fonksiyonu, tanjant (tan) fonksiyonunun tersidir. Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için, o fonksiyonun birebir (one-to-one) ve örten (onto) olması gerekir. Tanjant fonksiyonu periyodik olduğu için birebir değildir, bu yüzden tersini tanımlayabilmek için tanjant fonksiyonunun tanım kümesini kısıtlamamız gerekir.
- 1. Tanjant Fonksiyonunun Kısıtlanması: Tanjant fonksiyonu, $y = \tan(x)$ şeklinde ifade edilir ve periyodu $\pi$'dir. Ayrıca, $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ (burada $k$ bir tam sayıdır) değerlerinde tanımsızdır (düşey asimptotları vardır). Tanjant fonksiyonunu birebir yapmak ve tüm olası değerleri bir kez almasını sağlamak için, tanım kümesini genellikle $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ açık aralığına kısıtlarız. Bu aralıkta, $\tan(x)$ fonksiyonu $(-\infty, \infty)$ aralığındaki tüm gerçek değerleri alır.
- 2. Arctan Fonksiyonunun Tanım ve Değer Kümesi: Bir fonksiyonun tersini aldığımızda, orijinal fonksiyonun tanım kümesi ters fonksiyonun değer kümesi (range) olurken, orijinal fonksiyonun değer kümesi ters fonksiyonun tanım kümesi (domain) olur.
- $\tan(x)$ fonksiyonunun kısıtlanmış tanım kümesi: $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
- $\tan(x)$ fonksiyonunun bu kısıtlanmış aralıktaki değer kümesi: $(-\infty, \infty)$
- Buna göre, $\arctan(x)$ fonksiyonunun tanım kümesi: $(-\infty, \infty)$
- Ve $\arctan(x)$ fonksiyonunun değer kümesi (temel değer aralığı): $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
- 3. Seçeneklerin Değerlendirilmesi: Arctan fonksiyonunun grafiği incelendiğinde, $y = \frac{\pi}{2}$ ve $y = -\frac{\pi}{2}$ yatay asimptotlarına sahip olduğu görülür. Bu, fonksiyonun değerlerinin bu iki değer arasına sıkıştığı ve $x \to \infty$ iken $\frac{\pi}{2}$'ye, $x \to -\infty$ iken $-\frac{\pi}{2}$'ye yaklaştığı anlamına gelir. Dolayısıyla, $\arctan(x)$ fonksiyonunun değer kümesi kesin olarak $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ açık aralığıdır, çünkü $\arctan(x)$ hiçbir zaman tam olarak $\frac{\pi}{2}$ veya $-\frac{\pi}{2}$ değerlerine ulaşamaz. Ancak, verilen seçenekler arasında açık aralık bulunmamaktadır ve B seçeneği $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ kapalı aralığı olarak verilmiştir. Matematikte "temel değer aralığı" (principal range) ifadesi kullanılırken, özellikle çoktan seçmeli sorularda, fonksiyonun değerlerinin ulaştığı veya yaklaştığı en geniş sınırları temsil eden kapalı aralıklar da seçenek olarak sunulabilmektedir. Bu durumda, fonksiyonun değerlerinin $-\frac{\pi}{2}$ ile $\frac{\pi}{2}$ arasında yer aldığını ve bu değerlere yaklaştığını ifade eden B seçeneği, verilenler içinde en uygun olanıdır.
- 4. Diğer Seçeneklerin İncelenmesi:
- A) $[0, \pi]$: Bu aralık, arccos fonksiyonunun temel değer aralığıdır ve arctan fonksiyonunun negatif değerlerini kapsamaz.
- C) $[0, 2\pi]$: Bu aralık, trigonometrik fonksiyonların bir tam periyodunu kapsar ancak arctan fonksiyonunun değer aralığı çok daha dardır.
- D) $[-\pi, \pi]$: Bu aralık, arctan fonksiyonunun değer aralığından daha geniştir.
Bu nedenle, Arctan fonksiyonunun temel değer aralığı, fonksiyonun değerlerinin yaklaştığı ve arasında bulunduğu sınırlar göz önüne alındığında, verilen seçenekler arasında en doğru ifade B seçeneğidir.
Cevap B seçeneğidir.
