Arctan(∞) değerini bulmak için, öncelikle arctan fonksiyonunun ne anlama geldiğini hatırlayalım.
- Arctan Fonksiyonu: $arctan(x)$, tanjantı $x$ olan açıyı verir. Yani, $tan(\theta) = x$ ise, $\theta = arctan(x)$ olur.
- Tanjant Fonksiyonu: Tanjant fonksiyonu, birim çember üzerindeki bir açının karşı kenarının komşu kenara oranıdır. $tan(\theta) = \frac{sin(\theta)}{cos(\theta)}$ şeklinde de ifade edilebilir.
- Arctan(∞) İfadesi: $arctan(\infty)$ ifadesi, tanjantı sonsuz olan açıyı aradığımız anlamına gelir. Tanjantın sonsuz olması için, $cos(\theta)$'nın sıfıra yaklaşması ve $sin(\theta)$'nın sıfırdan farklı bir değere sahip olması gerekir.
- Hangi Açı? Birim çemberde, kosinüsün sıfır olduğu ve sinüsün 1 veya -1 olduğu açılar $\frac{\pi}{2}$ ve $\frac{3\pi}{2}$'dir. Ancak arctan fonksiyonunun görüntü kümesi genellikle $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ aralığıdır. Bu nedenle, $\frac{3\pi}{2}$ çözümünü dikkate almayız.
- Sonuç: $tan(\frac{\pi}{2})$ tanımsızdır (sonsuza yaklaşır). Dolayısıyla, $arctan(\infty) = \frac{\pi}{2}$ olur.
Cevap C seçeneğidir.
