Bir sınıfta 12 kız, 8 erkek öğrenci vardır. Öğrencilerin 5'i hem matematik hem de fen dersinden başarılıdır. Rastgele seçilen bir öğrencinin kız veya matematik-fen başarılı öğrenci olma olasılığı 3/4 olduğuna göre, sadece matematik-fen başarılı erkek öğrenci sayısı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Bu problemde olasılık kavramlarını kullanarak bir sınıftaki öğrenci dağılımını anlamaya çalışacağız. Adım adım ilerleyerek çözüme ulaşalım.
-
1. Adım: Toplam Öğrenci Sayısını Bulalım.
Sınıfta 12 kız ve 8 erkek öğrenci olduğuna göre, toplam öğrenci sayısı:
Toplam öğrenci sayısı $= 12 \text{ kız} + 8 \text{ erkek} = 20$ öğrenci.
-
2. Adım: Kız Öğrenci Seçme Olasılığını ($P(K)$) Hesaplayalım.
Rastgele seçilen bir öğrencinin kız olma olasılığı, kız öğrenci sayısının toplam öğrenci sayısına oranıdır:
$P(K) = \frac{\text{Kız öğrenci sayısı}}{\text{Toplam öğrenci sayısı}} = \frac{12}{20}$.
-
3. Adım: Hem Matematik Hem de Fen Dersinden Başarılı Öğrenci Seçme Olasılığını ($P(M\&F)$) Hesaplayalım.
Sınıftaki 5 öğrenci hem matematik hem de fen dersinden başarılı olduğuna göre, bu tür bir öğrenci seçme olasılığı:
$P(M\&F) = \frac{\text{Matematik ve fenden başarılı öğrenci sayısı}}{\text{Toplam öğrenci sayısı}} = \frac{5}{20}$.
-
4. Adım: Kız Veya Matematik-Fen Başarılı Öğrenci Seçme Olasılığı Formülünü Kullanarak Ortak Kesişim Olasılığını Bulalım.
Bize rastgele seçilen bir öğrencinin kız veya matematik-fen başarılı öğrenci olma olasılığı $P(K \cup (M\&F)) = \frac{3}{4}$ olarak verilmiştir.
İki olayın birleşim olasılığı formülü şöyledir:
$P(K \cup (M\&F)) = P(K) + P(M\&F) - P(K \cap (M\&F))$
Şimdi bilinen değerleri yerine yazalım:
$\frac{3}{4} = \frac{12}{20} + \frac{5}{20} - P(K \cap (M\&F))$
Paydaları eşitlemek için $\frac{3}{4}$'ü $\frac{15}{20}$ olarak yazalım:
$\frac{15}{20} = \frac{12}{20} + \frac{5}{20} - P(K \cap (M\&F))$
$\frac{15}{20} = \frac{17}{20} - P(K \cap (M\&F))$
Şimdi $P(K \cap (M\&F))$'yi yalnız bırakalım:
$P(K \cap (M\&F)) = \frac{17}{20} - \frac{15}{20}$
$P(K \cap (M\&F)) = \frac{2}{20}$
-
5. Adım: Hem Kız Hem de Matematik-Fen Başarılı Öğrenci Sayısını Bulalım.
$P(K \cap (M\&F))$ olasılığı, hem kız hem de matematik-fen dersinden başarılı olan öğrenci sayısının toplam öğrenci sayısına oranıdır:
$\frac{\text{Hem kız hem de matematik-fen başarılı öğrenci sayısı}}{\text{Toplam öğrenci sayısı}} = \frac{2}{20}$
Bu durumda, hem kız hem de matematik-fen dersinden başarılı öğrenci sayısı $2$'dir.
-
6. Adım: Sadece Matematik-Fen Başarılı Erkek Öğrenci Sayısını Bulalım.
Problemde toplam 5 öğrencinin hem matematik hem de fen dersinden başarılı olduğu belirtilmiştir. Bu 5 öğrencinin bir kısmı kız, bir kısmı ise erkektir.
Matematik-fen başarılı öğrenci sayısı = (Matematik-fen başarılı kız öğrenci sayısı) + (Matematik-fen başarılı erkek öğrenci sayısı)
$5 = 2 + (\text{Matematik-fen başarılı erkek öğrenci sayısı})$
Matematik-fen başarılı erkek öğrenci sayısı $= 5 - 2 = 3$.
Yapılan hesaplamalara göre, sadece matematik-fen başarılı erkek öğrenci sayısı 3'tür.
Cevap B seçeneğidir.
