9. Sınıf Ayrık Olmayan Olayların Olasılık Hesabı Nedir?

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Ayrık olmayan olaylarda, iki olay aynı anda gerçekleşebiliyor ve bu da olasılık hesaplarını karıştırıyor. Örneğin bir zar atıldığında hem çift hem de 3'ten büyük gelme ihtimalini bulurken kafam karışıyor.

Answer 1

Ayrık Olmayan Olaylar Nedir?

İki veya daha fazla olayın aynı anda gerçekleşebildiği olaylara ayrık olmayan olaylar denir. Yani bu olayların kesişimleri boş küme değildir. Örneğin, bir zar atıldığında "tek sayı gelmesi" ile "3'ten büyük sayı gelmesi" olayları ayrık değildir, çünkü 5 sayısı her iki olayı da sağlar.

Ayrık Olmayan Olayların Olasılığı Nasıl Hesaplanır?

A ve B gibi iki ayrık olmayan olayın birleşimlerinin olasılığını bulmak için aşağıdaki formül kullanılır:

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)

Bu formülde:

• \( P(A \cup B) \): A veya B olaylarından en az birinin gerçekleşme olasılığıdır.
• \( P(A) \): A olayının gerçekleşme olasılığıdır.
• \( P(B) \): B olayının gerçekleşme olasılığıdır.
• \( P(A \cap B) \): A ve B olaylarının her ikisinin birlikte gerçekleşme olasılığıdır (kesişim).

Neden \( P(A \cap B) \) çıkarılır? Çünkü \( P(A) \) ve \( P(B) \)'yi topladığımızda, kesişim bölgesi (yani hem A hem de B olan sonuçlar) iki kez sayılmış olur. Bu fazlalığı gidermek için kesişimin olasılığını çıkarırız.

Örnek Problem ve Çözümü

Problem: 1'den 10'a kadar numaralandırılmış kartlardan rastgele bir kart çekiliyor.

• A olayı: "Çekilen kartın numarasının çift sayı olması"
• B olayı: "Çekilen kartın numarasının 5'ten büyük olması"

Buna göre, çekilen kartın numarasının çift veya 5'ten büyük olma olasılığını bulunuz.

Çözüm:

1. Örnek Uzay: \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \) → Toplam 10 sonuç var. \( P(Tüm Sonuçlar) = 1 \)

2. Olayları Tanımlayalım:

• A = {2, 4, 6, 8, 10} → \( P(A) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
• B = {6, 7, 8, 9, 10} → \( P(B) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
• \( A \cap B \) = {6, 8, 10} → \( P(A \cap B) = \frac{3}{10} \)

3. Formülü Uygulayalım:

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)

\( P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{3}{10} \)

\( P(A \cup B) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10} \)

Cevap: Bir kartın çift veya 5'ten büyük olma olasılığı \( \frac{7}{10} \)'dur.

Özet

• Ayrık olmayan olaylar, ortak sonuçları olan olaylardır.
• Olasılık hesaplanırken \( P(A \cap B) \) kesişim olası

Answer 2

9. Sınıf Ayrık Olmayan Olayların Olasılık Hesabı Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir sınıftaki 30 öğrenciden 18'i matematik kulübüne, 15'i fizik kulübüne üyedir. 7 öğrenci ise her iki kulübe de üyedir. Bu sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin yalnızca bir kulübe üye olma olasılığı kaçtır?
a) \( \frac{1}{3} \)
b) \( \frac{19}{30} \)
c) \( \frac{2}{5} \)
d) \( \frac{13}{30} \)
e) \( \frac{7}{15} \)
Cevap: B
Çözüm: Yalnızca matematik kulübüne üye olanlar: 18 - 7 = 11 kişi. Yalnızca fizik kulübüne üye olanlar: 15 - 7 = 8 kişi. Toplam yalnızca bir kulübe üye olanlar: 11 + 8 = 19 kişi. Olasılık: \( \frac{19}{30} \).

Soru 2: 1'den 50'ye kadar numaralandırılmış kartlardan rastgele bir kart çekiliyor. Çekilen kartın numarasının 3'ün veya 5'in katı olma olasılığı kaçtır?
a) \( \frac{8}{25} \)
b) \( \frac{23}{50} \)
c) \( \frac{12}{25} \)
d) \( \frac{13}{25} \)
e) \( \frac{27}{50} \)
Cevap: B
Çözüm: 3'ün katı olanlar: \( \frac{50}{3} \approx 16 \) tane. 5'in katı olanlar: \( \frac{50}{5} = 10 \) tane. 15'in katı olanlar (kesişim): \( \frac{50}{15} \approx 3 \) tane. Birleşim kümesinin eleman sayısı: 16 + 10 - 3 = 23. Olasılık: \( \frac{23}{50} \).

Soru 3: Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayının asal sayı VEYA paranın yazı gelme olasılığı kaçtır?
a) \( \frac{5}{6} \)
b) \( \frac{2}{3} \)
c) \( \frac{3}{4} \)
d) \( \frac{7}{12} \)
e) \( \frac{11}{12} \)
Cevap: C
Çözüm: Tüm olası durumlar: 6 (zar) x 2 (para) = 12. Zarın asal geldiği durumlar (2,3,5): 3 x 2 = 6. Paranın yazı geldiği durumlar: 6 x 1 = 6. Her ikisinin aynı anda gerçekleştiği durumlar (zar asal VE para yazı): 3 x 1 = 3. Olasılık: \( \frac{6 + 6 - 3}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \).

Soru 4: Bir kutuda 4 kırmızı, 5 mavi ve 3 yeşil top vardır. Rastgele çekilen bir topun kırmızı VEYA yeşil olmama olasılığı kaçtır?
a) \( \frac{1}{3} \)
b) \( \frac{5}{12} \)
c) \( \frac{7}{12} \)
d) \( \frac{2}{3} \)
e) \( \frac{3}{4} \)
Cevap: B
Çözüm: Toplam top: 4+5+3=12. "Kırmızı VEYA yeşil olmama" ifadesi, "mavi olma" anlamına gelir. Mavi top sayısı 5'tir. Olasılık: \( \frac{5}{12} \). Bu soru, olayın tümleyeni ilişkisini anlamak için verilmiştir.