Sevgili öğrenciler, $2x^2 + 7x + 3$ gibi ikinci dereceden bir ifadeyi çarpanlarına ayırmak, onu iki adet birinci dereceden terimin çarpımı şeklinde yazmak demektir. Yani, $ax^2 + bx + c$ şeklindeki bir ifadeyi $(px+q)(rx+s)$ şeklinde yazmaya çalışırız.
- Adım 1: $x^2$ Teriminin Çarpanlarını Bulma
- Verilen ifade $2x^2 + 7x + 3$'tür. Burada $x^2$ teriminin katsayısı $2$'dir. $2$'nin çarpanları sadece $1$ ve $2$'dir. Bu durumda, çarpanlarına ayrılmış ifademizin ilk terimleri $(1x)$ ve $(2x)$ şeklinde olacaktır. Yani, $(x + \text{_})(2x + \text{_})$ veya $(2x + \text{_})(x + \text{_})$ formunda bir şey arıyoruz.
- Adım 2: Sabit Terimin Çarpanlarını Bulma
- İfademizdeki sabit terim $3$'tür. $3$'ün çarpanları $1$ ve $3$'tür. Bu çarpanları yukarıdaki boşluklara yerleştireceğiz.
- Adım 3: Ortadaki Terimi Elde Etmek İçin Çarpan Kombinasyonlarını Deneme
- Şimdi, $x^2$ teriminin çarpanları ($x$ ve $2x$) ile sabit terimin çarpanlarını ($1$ ve $3$) öyle bir şekilde eşleştirmeliyiz ki, çarpımlarının toplamı ortadaki terim olan $7x$'i versin. Bunu seçenekleri kontrol ederek daha hızlı yapabiliriz. Bir iki terimli ifadeyi çarptığımızda $(px+q)(rx+s) = prx^2 + (ps+qr)x + qs$ formülünü kullanırız. Bizim için önemli olan $ps+qr$ kısmının $7x$ olmasıdır.
- A) $(2x+1)(x+3)$ seçeneğini deneyelim:
- Bu ifadeyi çarptığımızda:
- İlk terimler çarpımı: $(2x)(x) = 2x^2$
- Dış terimler çarpımı: $(2x)(3) = 6x$
- İç terimler çarpımı: $(1)(x) = x$
- Son terimler çarpımı: $(1)(3) = 3$
- Bu terimleri toplarsak: $2x^2 + 6x + x + 3 = 2x^2 + 7x + 3$.
- Gördüğümüz gibi, bu çarpım bize orijinal ifade olan $2x^2 + 7x + 3$'ü verdi. Bu, A seçeneğinin doğru olduğunu gösterir.
- Diğer seçenekleri de hızlıca kontrol edelim:
- B) $(x+1)(2x+3)$
- Çarptığımızda: $(x)(2x) + (x)(3) + (1)(2x) + (1)(3) = 2x^2 + 3x + 2x + 3 = 2x^2 + 5x + 3$. Ortadaki terim $7x$ değil, $5x$ oldu.
- C) $(2x+3)(x+1)$
- Çarptığımızda: $(2x)(x) + (2x)(1) + (3)(x) + (3)(1) = 2x^2 + 2x + 3x + 3 = 2x^2 + 5x + 3$. Ortadaki terim $7x$ değil, $5x$ oldu.
- D) $(x+3)(2x+1)$
- Çarptığımızda: $(x)(2x) + (x)(1) + (3)(2x) + (3)(1) = 2x^2 + x + 6x + 3 = 2x^2 + 7x + 3$. Bu seçenek de doğru ifadeyi vermektedir. Matematiksel olarak $(2x+1)(x+3)$ ile $(x+3)(2x+1)$ aynıdır çünkü çarpma işleminin değişme özelliği vardır. Ancak, çoktan seçmeli sorularda genellikle tek bir doğru cevap beklendiği ve A seçeneği ilk verilen doğru kombinasyon olduğu için, A seçeneğini işaretleriz.
Cevap A seçeneğidir.
