k.f(x) grafiği (Genişleme/Daralma) Test 1

f(x) = x² fonksiyonunun grafiği üzerinde k = 2 için k·f(x) dönüşümü uygulanırsa, yeni grafik nasıl değişir?

A) Grafik yatay olarak 2 kat genişler
B) Grafik dikey olarak 2 kat genişler
C) Grafik dikey olarak 2 kat daralır
D) Grafik yatay olarak 2 kat daralır

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, fonksiyon dönüşümleri konusundaki önemli bir soruyu adım adım inceleyeceğiz. Bir fonksiyonun grafiğine uygulanan dönüşümlerin, grafiği nasıl etkilediğini anlamak, matematiksel düşünme becerilerimizi geliştirmek için çok değerlidir.

• Adım 1: Orijinal Fonksiyonu Tanıyalım

  Bize verilen orijinal fonksiyon $f(x) = x^2$'dir. Bu fonksiyonun grafiği, tepe noktası $(0,0)$ noktasında olan ve kolları yukarı doğru açılan bir paraboldür. Bu, temel parabol fonksiyonlarından biridir ve birçok dönüşümün başlangıç noktasıdır.

• Adım 2: Dönüşümü Uygulayalım

  Soru, $k=2$ için $k \cdot f(x)$ dönüşümünün uygulanmasını istiyor. Bu, orijinal fonksiyonun her bir $y$ değerinin $k$ ile çarpılması anlamına gelir. Yeni fonksiyonumuz $g(x)$ olsun:

  $g(x) = k \cdot f(x)$

  $g(x) = 2 \cdot f(x)$

  $g(x) = 2 \cdot x^2$

  Şimdi, $f(x) = x^2$ grafiği ile $g(x) = 2x^2$ grafiği arasındaki farkı incelememiz gerekiyor.

• Adım 3: Noktaları Karşılaştıralım

  Dönüşümün etkisini daha iyi anlamak için, her iki fonksiyonda da bazı $x$ değerleri için $y$ değerlerini (fonksiyon değerlerini) hesaplayalım:

  • $x=0$ için:
    • $f(0) = 0^2 = 0$
    • $g(0) = 2 \cdot 0^2 = 0$

    Görüldüğü gibi, tepe noktası $(0,0)$ değişmedi.

  • $x=1$ için:
    • $f(1) = 1^2 = 1$
    • $g(1) = 2 \cdot 1^2 = 2$

    Orijinal grafikte $(1,1)$ noktası varken, yeni grafikte $(1,2)$ noktası var.

  • $x=2$ için:
    • $f(2) = 2^2 = 4$
    • $g(2) = 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$

    Orijinal grafikte $(2,4)$ noktası varken, yeni grafikte $(2,8)$ noktası var.

• Adım 4: Değişimi Yorumlayalım

  Yukarıdaki karşılaştırmalardan şunu fark ediyoruz: Aynı $x$ değeri için, $g(x)$'in $y$ değeri, $f(x)$'in $y$ değerinin tam iki katıdır. Örneğin, $x=1$ iken $y$ değeri $1$'den $2$'ye, $x=2$ iken $y$ değeri $4$'ten $8$'e çıkmıştır. Bu durum, grafiğin dikey eksen (y ekseni) boyunca yukarı doğru "gerildiğini" veya "genişlediğini" gösterir.

• Adım 5: Genel Kuralı Hatırlayalım

  Bir fonksiyon $f(x)$ verildiğinde, $c \cdot f(x)$ şeklindeki bir dönüşüm:

  • Eğer $c > 1$ ise, grafiği dikey olarak $c$ kat genişletir (uzatır).
  • Eğer $0 < c < 1$ ise, grafiği dikey olarak $c$ kat daraltır (sıkıştırır).
  • Eğer $c < 0$ ise, grafiği x eksenine göre yansıtır ve mutlak değeri kadar dikey olarak genişletir/daraltır.

  Bizim durumumuzda $c=2$ ve $2 > 1$ olduğu için, grafik dikey olarak 2 kat genişleyecektir.

Bu analizler sonucunda, $f(x) = x^2$ fonksiyonunun grafiği üzerinde $k=2$ için $k \cdot f(x)$ dönüşümü uygulandığında, yeni grafiğin dikey olarak 2 kat genişlediğini söyleyebiliriz.

Cevap B seçeneğidir.