2. sınıf matematik geometrik cisimler çözümlü sorular ve test çöz Test 1

Bir kürenin yarıçapı iki katına çıkarılırsa hacmi kaç katına çıkar?

A) 2
B) 4
C) 6
D) 8

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, bir kürenin yarıçapı iki katına çıkarıldığında hacminin kaç katına çıkacağını bulmamız isteniyor. Bu tür geometrik dönüşüm sorularında, ilgili formülü bilmek ve adımları dikkatlice takip etmek çok önemlidir. Haydi birlikte adım adım çözelim:

• 1. Adım: Kürenin Hacim Formülünü Hatırlayalım

Bir kürenin hacmi $V$, yarıçapı $r$ olmak üzere aşağıdaki formülle hesaplanır:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

• 2. Adım: Başlangıç Durumunu Tanımlayalım

Başlangıçtaki kürenin yarıçapına $r_1$ diyelim. Bu durumda, başlangıçtaki hacmi $V_1$ şu şekilde olacaktır:

$V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$

• 3. Adım: Yarıçap İki Katına Çıkarıldığında Yeni Durumu Tanımlayalım

Soruda yarıçapın iki katına çıkarıldığı belirtiliyor. O zaman yeni yarıçap $r_2$ şöyle olur:

$r_2 = 2 \cdot r_1$

Şimdi bu yeni yarıçapı hacim formülünde yerine koyarak yeni hacmi $V_2$ bulalım:

$V_2 = \frac{4}{3}\pi (r_2)^3$

$V_2 = \frac{4}{3}\pi (2r_1)^3$

• 4. Adım: Yeni Hacmi Hesaplayalım ve Sadeleştirelim

Parantez içindeki ifadeyi küpünü alarak açalım. Unutmayın, $(ab)^3 = a^3 b^3$ kuralını kullanacağız:

$(2r_1)^3 = 2^3 \cdot r_1^3 = 8r_1^3$

Şimdi bu ifadeyi $V_2$ formülünde yerine yazalım:

$V_2 = \frac{4}{3}\pi (8r_1^3)$

Bu ifadeyi daha anlaşılır hale getirmek için 8 sayısını başa alabiliriz:

$V_2 = 8 \cdot \left(\frac{4}{3}\pi r_1^3\right)$

• 5. Adım: Yeni Hacmi Başlangıç Hacmiyle Karşılaştıralım

Dördüncü adımda bulduğumuz $V_2$ ifadesine dikkatlice bakalım: $V_2 = 8 \cdot \left(\frac{4}{3}\pi r_1^3\right)$.

İkinci adımda başlangıç hacmini $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$ olarak tanımlamıştık.

Bu durumda, parantez içindeki ifade aslında $V_1$'e eşittir. Yani:

$V_2 = 8 \cdot V_1$

Bu sonuç bize, kürenin yarıçapı iki katına çıkarıldığında hacminin 8 katına çıktığını gösterir.

Cevap D seçeneğidir.