Bir torbada 3 kırmızı, 4 mavi ve 5 yeşil top vardır. Rastgele bir top seçildiğinde 'kırmızı veya mavi top' seçilmesi olayı ile 'mavi veya yeşil top' seçilmesi olayı ayrık mıdır?
A) Evet, ayrıktır çünkü kırmızı ve yeşil toplar farklı renktedir
B) Hayır, ayrık değildir çünkü mavi top her iki olayda da ortaktır
C) Evet, ayrıktır çünkü torbada sadece 12 top vardır
D) Hayır, ayrık değildir çünkü seçilen top aynı anda hem kırmızı hem mavi olamaz
Adım 1: Torbadaki Topları ve Olayları Tanımlayalım
- Torbadaki toplam top sayısı: $3 \text{ (kırmızı)} + 4 \text{ (mavi)} + 5 \text{ (yeşil)} = 12$ top.
- Birinci olay (E1): 'Kırmızı veya mavi top seçilmesi'. Bu olayın elemanları {Kırmızı, Mavi} renkleridir.
- İkinci olay (E2): 'Mavi veya yeşil top seçilmesi'. Bu olayın elemanları {Mavi, Yeşil} renkleridir.
Adım 2: Ayrık Olay Kavramını Anlayalım
- İki olayın ayrık (veya karşılıklı dışlayıcı) olması demek, bu iki olayın aynı anda gerçekleşememesi demektir. Başka bir deyişle, bu iki olayın ortak hiçbir elemanının bulunmaması gerekir. Matematiksel olarak, iki olay A ve B için $A \cap B = \emptyset$ (boş küme) ise bu olaylar ayrıktır.
Adım 3: Olayların Ortak Elemanını İnceleyelim
- Şimdi tanımladığımız iki olayın (E1 ve E2) ortak bir elemanı olup olmadığına bakalım:
- E1 = {Kırmızı, Mavi}
- E2 = {Mavi, Yeşil}
- Görüldüğü gibi, 'Mavi' renkli top her iki olayın da ortak elemanıdır. Yani, seçilen top mavi ise, hem 'kırmızı veya mavi top seçilmesi' olayı gerçekleşmiş olur hem de 'mavi veya yeşil top seçilmesi' olayı gerçekleşmiş olur. Bu durum, iki olayın aynı anda gerçekleşebileceği anlamına gelir.
Adım 4: Sonuca Ulaşalım
- Ortak bir eleman (mavi top) bulunduğu için, bu iki olay aynı anda gerçekleşebilir. Dolayısıyla, bu olaylar ayrık değildir.
Bu durumda, doğru seçenek B'dir.
Cevap B seçeneğidir.
