Bu soruda, bir polinom fonksiyonunun belirsiz integralini adım adım çözeceğiz. İntegral, türevin tersi işlemidir ve belirli kurallara göre uygulanır.
Öncelikle, integral alma kurallarını hatırlayalım:
- Kuvvet kuralı: $x^n$ ifadesinin integrali $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ şeklindedir (burada $n \neq -1$ ve $C$ bir integral sabitidir).
- Sabit kuralı: Bir $k$ sabitinin integrali $\int k dx = kx + C$ şeklindedir.
- Doğrusallık özelliği: Toplam ve farkın integrali, integrallerin toplamı veya farkı olarak alınabilir: $\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$. Ayrıca, sabit bir çarpan integral dışına alınabilir: $\int c \cdot f(x) dx = c \cdot \int f(x) dx$.
Şimdi sorumuzdaki ifadeyi terim terim inceleyerek integralini alalım: $\int(3x^2 + 2x - 5) dx$.
- İlk terim $3x^2$: Bu terimin integralini alırken, $3$ sabitini integral dışına alıp $x^2$ için kuvvet kuralını uygularız.
$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.
- İkinci terim $2x$: Benzer şekilde, $2$ sabitini dışarı alıp $x^1$ için kuvvet kuralını uygularız.
$\int 2x dx = 2 \int x^1 dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$.
- Üçüncü terim $-5$: Bu bir sabit terimdir. Sabit bir sayının integrali, o sayının $x$ ile çarpımıdır.
$\int -5 dx = -5x$.
Şimdi bu terimlerin integrallerini doğrusallık özelliğini kullanarak bir araya getirelim. Belirsiz integral aldığımız için, her terimden gelen integral sabitlerini tek bir $C$ sabiti olarak eklemeyi unutmayız.
- $\int(3x^2 + 2x - 5) dx = \int 3x^2 dx + \int 2x dx - \int 5 dx$
- $= x^3 + x^2 - 5x + C$
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneğinde verilen ifade ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
