Sevgili öğrenciler, bu soru, integral ve türev arasındaki temel ilişkiyi anlamamızı gerektiren çok önemli bir konuya değiniyor. Gelin, adım adım bu soruyu çözelim.
- Soruyu Anlayalım: Bize verilen ifade, bir fonksiyonun integralinin türevini bulmamızı istiyor. Yani, $\int(5x^4 + 3x^2) dx$ ifadesinin türevini almamız gerekiyor. Matematiksel olarak bunu $\frac{d}{dx} \left( \int(5x^4 + 3x^2) dx \right)$ şeklinde gösterebiliriz.
- Temel Kuralı Hatırlayalım: Kalkülüsün Temel Teoremi'ne göre, bir fonksiyonun integralinin türevi, o fonksiyonun kendisine eşittir. Daha basit bir ifadeyle, türev alma işlemi ile integral alma işlemi birbirinin tersidir. Bir fonksiyonu önce integre edip sonra türevini alırsak, başlangıçtaki fonksiyona geri döneriz.
- Matematiksel olarak bu kuralı şöyle ifade edebiliriz: Eğer $f(x)$ sürekli bir fonksiyon ise, o zaman $\frac{d}{dx} \left( \int f(x) dx \right) = f(x)$ olur.
- Kuralı Sorumuza Uygulayalım: Sorumuzda $f(x) = 5x^4 + 3x^2$ fonksiyonu verilmiştir. Bizden bu fonksiyonun integralinin türevi isteniyor. Yukarıdaki kurala göre, integralin türevi, integralin içindeki fonksiyona eşit olacaktır.
- Yani, $\frac{d}{dx} \left( \int(5x^4 + 3x^2) dx \right) = 5x^4 + 3x^2$ olur.
- Seçenekleri İnceleyelim: Bulduğumuz sonuç olan $5x^4 + 3x^2$ ifadesi, seçenekler arasında A seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
