KPSS EBOB EKOK Test 1

Bir sınıftaki öğrenciler 4'erli, 6'şarlı ve 8'erli gruplandırıldığında her seferinde 3 öğrenci artıyor. Sınıf mevcudu en az kaçtır?

A) 27
B) 33
C) 39
D) 45
E) 51

Bu tür problemler, günlük hayatta karşımıza çıkabilecek gruplama senaryolarını anlamamızı sağlayan çok güzel bir konudur. Sınıf mevcudunu bulmak için adım adım ilerleyelim:

• Problemi Anlayalım:

  Soruda bize verilen bilgiye göre, sınıftaki öğrenciler:

  4'erli gruplandığında $3$ öğrenci artıyor. Bu, sınıf mevcudunun $4$'e bölündüğünde kalanın $3$ olduğu anlamına gelir. Matematiksel olarak, sınıf mevcudu ($S$) için $S = 4k + 3$ diyebiliriz (burada $k$ bir tam sayıdır).

  6'şarlı gruplandığında $3$ öğrenci artıyor. Bu da sınıf mevcudunun $6$'ya bölündüğünde kalanın $3$ olduğu anlamına gelir. Yani, $S = 6m + 3$ (burada $m$ bir tam sayıdır).

  8'erli gruplandığında $3$ öğrenci artıyor. Benzer şekilde, sınıf mevcudunun $8$'e bölündüğünde kalanın $3$ olduğu anlamına gelir. Yani, $S = 8n + 3$ (burada $n$ bir tam sayıdır).

  Tüm bu durumlarda $3$ öğrencinin artması, bize çok önemli bir ipucu veriyor!

• Ortak Katı Bulmaya Yönelik İpucu:

  Eğer sınıf mevcudundan o artan $3$ öğrenciyi çıkarırsak, geriye kalan öğrenci sayısı hem $4$'e, hem $6$'ya hem de $8$'e tam bölünecektir. Yani, $S - 3$ sayısı, $4$, $6$ ve $8$'in ortak bir katı olmalıdır.

  Bizden sınıf mevcudunun en az kaç olduğu istendiği için, $4$, $6$ ve $8$'in en küçük ortak katını (EKOK veya LCM) bulmamız gerekiyor.

• $4$, $6$ ve $8$ Sayılarının En Küçük Ortak Katını (EKOK) Bulalım:

  EKOK'u bulmak için asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanabiliriz:

  • $4 = 2 \times 2 = 2^2$

  • $6 = 2 \times 3$

  • $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$

  EKOK, bu sayıların asal çarpanlarının en yüksek üslerini alarak çarpılmasıyla bulunur. Burada $2$'nin en yüksek üssü $2^3$ (yani $8$) ve $3$'ün en yüksek üssü $3^1$ (yani $3$) vardır.

  EKOK$(4, 6, 8) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24$.

  Bu, $S - 3$ sayısının en az $24$ olması gerektiği anlamına gelir.

• Sınıf Mevcudunu Hesaplayalım:

  Şimdi $S - 3 = 24$ denklemini kullanarak sınıf mevcudunu ($S$) bulabiliriz:

  $S - 3 = 24$

  $S = 24 + 3$

  $S = 27$

• Cevabı Kontrol Edelim:

  Sınıf mevcudu $27$ ise:

  • $27$ öğrenciyi $4$'erli gruplarsak: $27 \div 4 = 6$ grup ve $3$ öğrenci artar. (Doğru)

  • $27$ öğrenciyi $6$'şarlı gruplarsak: $27 \div 6 = 4$ grup ve $3$ öğrenci artar. (Doğru)

  • $27$ öğrenciyi $8$'erli gruplarsak: $27 \div 8 = 3$ grup ve $3$ öğrenci artar. (Doğru)

  Tüm koşullar sağlandığına göre, sınıf mevcudu en az $27$'dir.

Cevap A seçeneğidir.