Gerçek sayılar kümesinin sıralı olma özelliği Test 1

Gerçek sayılar kümesinde a < b ve c herhangi bir gerçek sayı olmak üzere aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

A) a + c < b + c
B) a - c > b - c
C) ac < bc
D) a/c < b/c

Bu soruda, gerçek sayılar kümesinde eşitsizliklerin temel özelliklerini anlamamız gerekiyor. Bize $a < b$ olduğu ve $c$ herhangi bir gerçek sayı olduğu bilgisi verilmiş. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:

• A) $a + c < b + c$

  Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayıyı eklediğimizde, eşitsizliğin yönü değişmez. Örneğin, $2 < 5$ olsun. Her iki tarafa $3$ eklersek, $2 + 3 < 5 + 3$ yani $5 < 8$ olur. Eşitsizlik hala doğru kalır. Bu kural, $c$ pozitif, negatif veya sıfır olsun, her zaman geçerlidir. Dolayısıyla, $a < b$ ise, $a + c < b + c$ ifadesi her zaman doğrudur.

• B) $a - c > b - c$

  Bir eşitsizliğin her iki tarafından aynı sayıyı çıkardığımızda da eşitsizliğin yönü değişmez. Yani, $a < b$ ise, $a - c < b - c$ olmalıdır. Ancak bu seçenekte eşitsizlik yönü ters çevrilmiş ($>$ işareti kullanılmış). Bu nedenle, bu ifade her zaman doğru değildir. Örneğin, $2 < 5$ ve $c = 1$ alalım. $2 - 1 < 5 - 1$ yani $1 < 4$ doğrudur. Ama $1 > 4$ yanlıştır.

• C) $ac < bc$

  Bir eşitsizliğin her iki tarafını bir sayı ile çarptığımızda, eşitsizliğin yönü çarptığımız sayının işaretine bağlıdır. Eğer $c > 0$ (pozitif) ise, eşitsizlik yönü değişmez ($ac < bc$). Eğer $c < 0$ (negatif) ise, eşitsizlik yönü ters döner ($ac > bc$). Eğer $c = 0$ ise, her iki taraf $0$ olur ($0 < 0$ yanlış olur).

  Soruda $c$'nin herhangi bir gerçek sayı olduğu belirtildiği için, $c$ negatif olabilir. Bu durumda eşitsizlik yön değiştireceği için $ac < bc$ ifadesi her zaman doğru olmaz. Örneğin, $2 < 5$ ve $c = -1$ alalım. $2 \cdot (-1) < 5 \cdot (-1)$ yani $-2 < -5$ yanlıştır. Doğrusu $-2 > -5$ olmalıdır.

• D) $a/c < b/c$

  Bir eşitsizliğin her iki tarafını bir sayıya böldüğümüzde de, eşitsizliğin yönü böldüğümüz sayının işaretine bağlıdır ve $c \neq 0$ olmalıdır. Eğer $c > 0$ (pozitif) ise, eşitsizlik yönü değişmez ($a/c < b/c$). Eğer $c < 0$ (negatif) ise, eşitsizlik yönü ters döner ($a/c > b/c$).

  Yine, $c$ negatif olabilir. Bu durumda eşitsizlik yön değiştireceği için $a/c < b/c$ ifadesi her zaman doğru olmaz. Ayrıca $c=0$ durumunda bölme tanımsız olacağı için bu ifade her zaman doğru olamaz. Örneğin, $2 < 5$ ve $c = -1$ alalım. $2/(-1) < 5/(-1)$ yani $-2 < -5$ yanlıştır. Doğrusu $-2 > -5$ olmalıdır.

Yukarıdaki analizlere göre, sadece A seçeneğindeki ifade her zaman doğrudur.

Cevap A seçeneğidir.