Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olduğu en geniş aralığı nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Bu tür sorular, fonksiyonların ne zaman geçerli olduğunu anlamamız için çok önemlidir.
-
Öncelikle, bize verilen fonksiyonu inceleyelim: $f(x) = \log_3(5-x)$.
-
Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için belirli kurallar vardır. Genel olarak, $\log_b(a)$ ifadesinin tanımlı olabilmesi için iki temel şart bulunur:
- Taban $b$, pozitif olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır ($b > 0$ ve $b \neq 1$).
- Logaritmanın içindeki ifade (argüman) $a$, kesinlikle pozitif olmalıdır ($a > 0$).
-
Şimdi bu kuralları kendi fonksiyonumuza uygulayalım: $f(x) = \log_3(5-x)$.
-
Burada taban $b=3$'tür. $3 > 0$ ve $3 \neq 1$ olduğu için taban kuralı sağlanmaktadır. Bu kısımda bir sorun yok.
-
Logaritmanın içindeki ifade (argüman) ise $5-x$'tir. Logaritmanın tanımlı olabilmesi için bu ifadenin kesinlikle pozitif olması gerekir. Yani, $5-x > 0$ eşitsizliğini sağlamalıyız.
-
Şimdi bu eşitsizliği çözelim:
- $5-x > 0$
- Eşitsizliğin her iki tarafına $x$ ekleyelim (veya $-x$'i karşıya $+x$ olarak atalım):
- $5 > x$
-
Bu eşitsizlik bize $x$'in 5'ten küçük olması gerektiğini söyler. Yani, $x$ değeri 5'ten küçük herhangi bir sayı olabilir.
-
Bu durumu aralık olarak ifade edersek, $(-\infty, 5)$ şeklinde yazabiliriz.
-
Seçeneklerimize baktığımızda, $x < 5$ ifadesi A seçeneğinde yer almaktadır.
Bu nedenle, $f(x) = \log_3(5-x)$ fonksiyonunun tanımlı olduğu en geniş aralık $x < 5$'tir.
Cevap A seçeneğidir.
