Bir mimari projede duvarların birbirine paralel veya dik olması istenmektedir. Denklemi \(y = \frac{2}{3}x + 5\) olan duvara paralel olacak ve B(-3,2) noktasından geçecek duvarın denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(y = \frac{2}{3}x + 4\)Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, mimari bir projede duvarların konumunu belirlemek için doğru denklemlerini kullanacağız. Bir duvarın denklemi verildiğinde, ona paralel veya dik olacak başka bir duvarın denklemini nasıl bulacağımızı adım adım inceleyelim.
İlk olarak, denklemi verilen duvarın eğimini (yani ne kadar "eğimli" olduğunu) bulmalıyız. Bir doğrunun denklemi genellikle $y = mx + c$ şeklinde yazılır. Burada $m$ doğrunun eğimini, $c$ ise doğrunun y eksenini kestiği noktayı gösterir.
Verilen duvarın denklemi $y = \frac{2}{3}x + 5$'tir. Bu denklemde $m$ yerine $\frac{2}{3}$ geldiğini görüyoruz. O halde, bu duvarın eğimi $m_1 = \frac{2}{3}$'tür.
Soruda, yeni duvarın verilen duvara paralel olması isteniyor. Geometride, iki doğru birbirine paralelse, eğimleri birbirine eşittir. Yani, aynı "eğime" sahiptirler.
Bu durumda, yeni duvarın eğimi de verilen duvarın eğimiyle aynı olacaktır: $m_2 = m_1 = \frac{2}{3}$.
Şimdi yeni duvarın eğimini ($m = \frac{2}{3}$) ve geçtiği bir noktayı (B(-3,2)) biliyoruz. Bir doğrunun eğimi ve geçtiği bir nokta biliniyorsa, denklemi $y - y_1 = m(x - x_1)$ formülü kullanılarak bulunabilir.
Burada $(x_1, y_1)$ noktası B(-3,2) ve eğim $m = \frac{2}{3}$'tür. Bu değerleri formülde yerine yazalım:
$y - 2 = \frac{2}{3}(x - (-3))$
$y - 2 = \frac{2}{3}(x + 3)$
Şimdi denklemi düzenleyerek $y = mx + c$ formuna getirelim:
$y - 2 = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3} \times 3$
$y - 2 = \frac{2}{3}x + 2$
$-2$'yi eşitliğin sağ tarafına atalım:
$y = \frac{2}{3}x + 2 + 2$
$y = \frac{2}{3}x + 4$
Bulduğumuz denklem $y = \frac{2}{3}x + 4$'tür. Şimdi bu denklemi seçeneklerle karşılaştıralım:
Gördüğümüz gibi, bulduğumuz denklem A seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
