Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, atış hareketinde cisimlerin ilk hızları ile ulaşabilecekleri maksimum yükseklik arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- 1. Adım: Soruyu Anlayalım ve Verilenleri Belirleyelim
Bize verilen bilgilere göre:
- İki cisim de aynı açıyla ($\theta$) atılıyor.
- Birinci cismin ilk hızı $v_1$ olsun.
- İkinci cismin ilk hızı, birincinin 2 katıdır, yani $v_2 = 2v_1$.
- Bizden istenen, bu iki cismin ulaşacağı maksimum yükseklikler ($H_1$ ve $H_2$) arasındaki orandır. Seçeneklere bakarak bu oranın $H_2:H_1$ şeklinde olması gerektiğini anlıyoruz.
- 2. Adım: Maksimum Yükseklik Formülünü Hatırlayalım
Bir cismin yatay ile $\theta$ açısı yaparak $v_0$ ilk hızıyla atıldığında ulaşabileceği maksimum yükseklik ($H$) formülü şöyledir:
- $H = \frac{(v_0 \sin\theta)^2}{2g}$
- Bu formülde $v_0$ cismin ilk hızı, $\theta$ atış açısı ve $g$ yerçekimi ivmesidir. Yerçekimi ivmesi ($g$) her iki cisim için de aynı ve sabittir.
- 3. Adım: Birinci Cisim İçin Maksimum Yüksekliği Yazalım
Birinci cismin ilk hızı $v_1$ ve atış açısı $\theta$ olduğuna göre, ulaşacağı maksimum yükseklik $H_1$ şu şekilde ifade edilir:
- $H_1 = \frac{(v_1 \sin\theta)^2}{2g}$
- Bu ifadeyi açarsak: $H_1 = \frac{v_1^2 \sin^2\theta}{2g}$
- 4. Adım: İkinci Cisim İçin Maksimum Yüksekliği Yazalım
İkinci cismin ilk hızı $v_2 = 2v_1$ ve atış açısı yine $\theta$ olduğuna göre, ulaşacağı maksimum yükseklik $H_2$ şu şekilde ifade edilir:
- $H_2 = \frac{(v_2 \sin\theta)^2}{2g}$
- Şimdi $v_2$ yerine $2v_1$ yazalım:
- $H_2 = \frac{((2v_1) \sin\theta)^2}{2g}$
- Parantez içindeki ifadeyi kareye alırken hem 2'nin hem de $v_1$'in karesini almayı unutmayalım:
- $H_2 = \frac{4v_1^2 \sin^2\theta}{2g}$
- 5. Adım: Maksimum Yükseklikler Arasındaki Oranı Bulalım
Şimdi $H_2$'nin $H_1$'e oranını bulalım:
- $\frac{H_2}{H_1} = \frac{\frac{4v_1^2 \sin^2\theta}{2g}}{\frac{v_1^2 \sin^2\theta}{2g}}$
- Bu ifadede pay ve paydada ortak olan terimler $v_1^2$, $\sin^2\theta$ ve $2g$'dir. Bu terimler sadeleşir.
- $\frac{H_2}{H_1} = \frac{4}{1}$
- 6. Adım: Sonucu Yorumlayalım
Bulduğumuz oran $\frac{H_2}{H_1} = \frac{4}{1}$'dir. Bu da $H_2:H_1 = 4:1$ anlamına gelir.
Yani, ilk hızı diğerinin 2 katı olan cismin ulaşacağı maksimum yükseklik, diğer cismin ulaşacağı maksimum yüksekliğin 4 katıdır. Maksimum yükseklik, ilk hızın karesiyle doğru orantılıdır.
Cevap D seçeneğidir.
