Fonksiyonun en küçük değerini ve bu değerin hangi aralıkta gerçekleştiğini bulmak için, mutlak değer fonksiyonlarını adım adım inceleyelim.
- Adım 1: Kritik Noktaları Belirleme
- Mutlak değerin içini sıfır yapan $x$ değerlerine kritik noktalar denir. Bu noktalar, fonksiyonun davranışının değiştiği yerlerdir.
- $|x - 3|$ ifadesi için kritik nokta: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
- $|x + 1|$ ifadesi için kritik nokta: $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
- Bu kritik noktalar ($x = -1$ ve $x = 3$), sayı doğrusunu üç farklı aralığa ayırır. Bu aralıklarda mutlak değer ifadelerinin işaretleri değişir.
- Adım 2: Her Bir Aralıkta Fonksiyonu İnceleme
- Durum 1: $x < -1$ iken
- Bu aralıkta, hem $x - 3$ hem de $x + 1$ ifadeleri negatiftir.
- Bu durumda, mutlak değerler işaret değiştirerek açılır:
- $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$
- $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$
- Fonksiyonumuz: $f(x) = (-x + 3) + (-x - 1) = -2x + 2$. Bu, azalan bir fonksiyondur. $x$ değeri $-1$'e yaklaştıkça $f(x)$ değeri $-2(-1) + 2 = 4$'e yaklaşır.
- Durum 2: $-1 \le x < 3$ iken
- Bu aralıkta, $x - 3$ ifadesi negatif, $x + 1$ ifadesi ise pozitif veya sıfırdır.
- Bu durumda, mutlak değerler şu şekilde açılır:
- $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$
- $|x + 1| = x + 1$
- Fonksiyonumuz: $f(x) = (-x + 3) + (x + 1) = 4$. Bu, sabit bir fonksiyondur. Yani bu aralıktaki tüm $x$ değerleri için fonksiyonun değeri $4$'tür.
- Durum 3: $x \ge 3$ iken
- Bu aralıkta, hem $x - 3$ hem de $x + 1$ ifadeleri pozitif veya sıfırdır.
- Bu durumda, mutlak değerler olduğu gibi açılır:
- $|x - 3| = x - 3$
- $|x + 1| = x + 1$
- Fonksiyonumuz: $f(x) = (x - 3) + (x + 1) = 2x - 2$. Bu, artan bir fonksiyondur. $x$ değeri $3$'ten başladıkça $f(x)$ değeri $2(3) - 2 = 4$'ten başlar ve artar.
- Adım 3: Fonksiyonun Grafiğini ve En Küçük Değerini Yorumlama
- Yukarıdaki analizlere göre, fonksiyonun davranışı şöyledir:
- $x < -1$ için $f(x)$ azalarak $4$'e yaklaşır.
- $-1 \le x \le 3$ için $f(x)$ sabittir ve değeri $4$'tür.
- $x > 3$ için $f(x)$ artarak $4$'ten uzaklaşır.
- Bu durum, fonksiyonun grafiğinin bir "V" şekline benzediğini, ancak dip kısmının düz bir çizgi olduğunu gösterir. Fonksiyonun alabileceği en küçük değer, bu düz çizginin yüksekliğidir.
- Bu nedenle, fonksiyonun alabileceği en küçük değer $4$'tür.
- Bu en küçük değer, $x$ değerinin $-1$ ile $3$ arasında olduğu tüm noktalarda gerçekleşir. Yani, $-1 \le x \le 3$ aralığında.
Bu sonuçlara göre, doğru seçenek B'dir.
Cevap B seçeneğidir.
