ABC üçgeninde [DE] // [BC] olup |AD| = 4 cm, |DB| = 8 cm ve |DE| = 5 cm'dir. Buna göre, |BC| kaç cm'dir?
A) 10
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
Sevgili öğrenciler, bu soruda üçgenlerde benzerlik konusunu kullanarak bir kenar uzunluğunu bulacağız. Bir üçgenin içinde, bir kenara paralel çizilen bir doğru, o üçgenle daha küçük bir benzer üçgen oluşturur. Bu benzerlik sayesinde kenar uzunlukları arasındaki oranları kullanarak bilinmeyeni kolayca bulabiliriz.
- Verilen Bilgileri Anlayalım: ABC üçgeninde [DE] doğru parçası, [BC] doğru parçasına paraleldir ($[DE] // [BC]$). Bu paralellik bilgisi, $\triangle ADE$ üçgeninin $\triangle ABC$ üçgenine benzer olduğunu gösterir. Bize verilen uzunluklar: $|AD| = 4$ cm, $|DB| = 8$ cm ve $|DE| = 5$ cm'dir. Bizden $|BC|$ uzunluğunu bulmamız isteniyor.
- Benzer Üçgenleri Belirleyelim: [DE] // [BC] olduğu için, Temel Orantı Teoremi'ne göre $\triangle ADE$ üçgeni ile $\triangle ABC$ üçgeni benzerdir. Bu benzerliği $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ şeklinde ifade edebiliriz.
- Benzerlik Oranını Kurmak İçin Gerekli Kenar Uzunluklarını Hesaplayalım: Benzerlik oranını kurarken, küçük üçgenin (ADE) kenarlarını büyük üçgenin (ABC) karşılık gelen kenarlarına oranlarız. Bu durumda, büyük üçgenin $|AB|$ kenarının uzunluğunu bulmamız gerekiyor. $|AB|$ uzunluğu, $|AD|$ ve $|DB|$ uzunluklarının toplamıdır:
$|AB| = |AD| + |DB|$
$|AB| = 4 \text{ cm} + 8 \text{ cm}$
$|AB| = 12 \text{ cm}$
- Benzerlik Oranını Kurup Denklemi Çözelim: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Bu durumda, $|AD|$'nin $|AB|$'ye oranı, $|DE|$'nin $|BC|$'ye oranına eşit olacaktır:
$\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|}$
Şimdi bilinen değerleri bu orana yerleştirelim:
$\frac{4}{12} = \frac{5}{|BC|}$
Eşitliğin sol tarafındaki oranı sadeleştirelim:
$\frac{1}{3} = \frac{5}{|BC|}$
Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak $|BC|$ uzunluğunu bulabiliriz:
$1 \times |BC| = 3 \times 5$
$|BC| = 15 \text{ cm}$
Bu adımları takip ederek $|BC|$ uzunluğunun 15 cm olduğunu bulduk.
Cevap C seçeneğidir.
