9. Sınıf Gerçek Sayılarda f(x)=±|ax + b|±c Şeklinde Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonlarının Grafikleri Nedir? Test 1

f(x) = 3 - |2x + 4| fonksiyonunun grafiği ile ilgili olarak:
I. Tepe noktası (-2,3)'tür
II. Grafik x = -2 doğrusuna göre simetriktir
III. Fonksiyonun maksimum değeri 3'tür
Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I
B) I ve II
C) II ve III
D) I, II ve III

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, mutlak değer fonksiyonlarının temel özelliklerini kullanarak verilen ifadelerin doğruluğunu inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• Mutlak Değer Fonksiyonlarının Genel Yapısı:

  Bir mutlak değer fonksiyonunun genel formu $f(x) = a|x - h| + k$ şeklindedir. Bu formdaki bir fonksiyonun grafiği bir "V" veya "ters V" şeklindedir. Bu genel formda:

  • Grafiğin tepe noktası (veya köşe noktası) $(h, k)$'dir.
  • Grafiğin simetri ekseni $x = h$ doğrusudur.
  • Eğer $a < 0$ ise, grafik aşağı doğru açılır (ters V şekli) ve fonksiyonun bir maksimum değeri vardır. Bu maksimum değer $k$'dir.
  • Eğer $a > 0$ ise, grafik yukarı doğru açılır (V şekli) ve fonksiyonun bir minimum değeri vardır. Bu minimum değer $k$'dir.
• Verilen Fonksiyonu Standart Forma Dönüştürme:

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = 3 - |2x + 4|$ şeklindedir. Bu ifadeyi yukarıdaki $f(x) = a|x - h| + k$ formuna benzetmeye çalışalım:

  • Önce mutlak değer terimini başa alalım: $f(x) = -|2x + 4| + 3$.
  • Mutlak değerin içindeki ifadeyi çarpanlarına ayıralım: $2x + 4 = 2(x + 2)$.
  • Şimdi fonksiyonu tekrar yazalım: $f(x) = -|2(x + 2)| + 3$.
  • Mutlak değerin özelliğinden $|ab| = |a||b|$ olduğunu biliyoruz. Bu yüzden $|2(x + 2)| = |2||x + 2| = 2|x + 2|$ olur.
  • Fonksiyonumuz bu durumda $f(x) = -2|x + 2| + 3$ halini alır.
  • Son olarak, $x + 2$ ifadesini $x - (-2)$ olarak yazarsak, standart formdaki $h$ değerini daha net görebiliriz: $f(x) = -2|x - (-2)| + 3$.
  • Bu son hali genel form $f(x) = a|x - h| + k$ ile karşılaştırdığımızda, şu değerleri elde ederiz:
  • $a = -2$
  • $h = -2$
  • $k = 3$
• I. İfadeyi Değerlendirme: "Tepe noktası $(-2,3)$'tür"

  Yukarıdaki analizimizden, mutlak değer fonksiyonunun tepe noktasının $(h, k)$ olduğunu biliyoruz. Bizim fonksiyonumuz için $h = -2$ ve $k = 3$ olduğundan, tepe noktası $(-2, 3)$'tür. Bu ifade doğrudur.

• II. İfadeyi Değerlendirme: "Grafik $x = -2$ doğrusuna göre simetriktir"

  Mutlak değer fonksiyonlarının simetri ekseni $x = h$ doğrusudur. Bizim fonksiyonumuz için $h = -2$ olduğundan, simetri ekseni $x = -2$ doğrusudur. Bu ifade de doğrudur.

• III. İfadeyi Değerlendirme: "Fonksiyonun maksimum değeri $3$'tür"

  Fonksiyonumuzun $a$ değeri $-2$'dir (yani $a < 0$). Bu durumda grafik aşağı doğru açılan bir "ters V" şeklindedir. Aşağı doğru açılan bir grafiğin bir maksimum değeri vardır ve bu değer tepe noktasının y-koordinatıdır ($k$). Bizim fonksiyonumuz için $k = 3$ olduğundan, fonksiyonun maksimum değeri $3$'tür. Bu ifade de doğrudur.

• Sonuç:

  Her üç ifade de (I, II ve III) doğru olduğu için, doğru seçenek D'dir.

Cevap D seçeneğidir.