Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi ne birebir ne de örtendir?
Bir fonksiyonun birebir (one-to-one) ve örten (onto) özelliklerini anlamak için her bir seçeneği dikkatlice inceleyelim. Bir fonksiyonun birebir olması için tanım kümesindeki her farklı elemanın değer kümesinde farklı bir görüntüye sahip olması gerekir. Yani, $f(x_1) = f(x_2)$ ise $x_1 = x_2$ olmalıdır. Bir fonksiyonun örten olması için ise değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir karşılığı olması, yani görüntü kümesinin değer kümesine eşit olması gerekir.
A) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3$
Birebir mi? Evet. Eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise, $x_1^3 = x_2^3$ demektir. Her iki tarafın küp kökünü aldığımızda $x_1 = x_2$ elde ederiz. Bu, farklı $x$ değerlerinin farklı görüntülere sahip olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, birebirdir.
Örten mi? Evet. Değer kümesi $\mathbb{R}$'dir. Herhangi bir $y \in \mathbb{R}$ için, $x^3 = y$ denklemini sağlayan bir $x = \sqrt[3]{y}$ değeri her zaman $\mathbb{R}$ içinde bulunabilir. Bu, fonksiyonun görüntü kümesinin $\mathbb{R}$ olduğu ve değer kümesine eşit olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, örtendir.
B) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 5$
Birebir mi? Hayır. Örneğin, $x_1 = 1$ ve $x_2 = 2$ alalım. $f(1) = 5$ ve $f(2) = 5$ olur. $f(1) = f(2)$ olmasına rağmen $1 \neq 2$ olduğu için fonksiyon birebir değildir. Tanım kümesindeki farklı elemanlar aynı görüntüye sahiptir.
Örten mi? Hayır. Değer kümesi $\mathbb{R}$'dir. Ancak fonksiyonun görüntü kümesi sadece $\{5\}$'tir. Değer kümesindeki $5$ dışındaki hiçbir elemanın (örneğin $y=0$ veya $y=10$) tanım kümesinde bir karşılığı yoktur. Görüntü kümesi değer kümesine eşit olmadığı için fonksiyon örten değildir.
Bu fonksiyon hem birebir değildir hem de örten değildir.
C) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x - 1$
Birebir mi? Evet. Eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise, $2x_1 - 1 = 2x_2 - 1$ demektir. Buradan $2x_1 = 2x_2$ ve dolayısıyla $x_1 = x_2$ elde edilir. Bu, fonksiyonun birebir olduğunu gösterir.
Örten mi? Evet. Değer kümesi $\mathbb{R}$'dir. Herhangi bir $y \in \mathbb{R}$ için, $2x - 1 = y$ denklemini sağlayan bir $x$ değeri bulabiliriz: $2x = y + 1 \implies x = \frac{y+1}{2}$. Bu $x$ değeri her zaman $\mathbb{R}$ içinde bulunur. Dolayısıyla, fonksiyon örtendir.
D) $f: \mathbb{R} \to [0, \infty)$, $f(x) = x^2$
Birebir mi? Hayır. Örneğin, $x_1 = -1$ ve $x_2 = 1$ alalım. $f(-1) = (-1)^2 = 1$ ve $f(1) = 1^2 = 1$ olur. $f(-1) = f(1)$ olmasına rağmen $-1 \neq 1$ olduğu için fonksiyon birebir değildir.
Örten mi? Evet. Değer kümesi $[0, \infty)$'dur (tüm negatif olmayan reel sayılar). $f(x) = x^2$ fonksiyonunun görüntü kümesi de tüm reel sayılar için $[0, \infty)$'dur. Görüntü kümesi değer kümesine eşit olduğu için fonksiyon örtendir.
Yukarıdaki analizlere göre, hem birebir olmayan hem de örten olmayan fonksiyon B seçeneğidir.
Cevap B seçeneğidir.
