Trigonometri: Birim Çember, Sinüs, Kosinüs, Tanjant, Kotanjant Test 1

Kotanjant fonksiyonu hangi açılarda tanımsızdır?

A) 0° ve 180°
B) 90° ve 270°
C) 45° ve 225°
D) 30° ve 210°

Kotanjant fonksiyonunun hangi açılarda tanımsız olduğunu anlamak için öncelikle kotanjant fonksiyonunun tanımını ve bir kesirli ifadenin ne zaman tanımsız olduğunu hatırlayalım.

• Kotanjant Fonksiyonunun Tanımı: Bir $x$ açısı için kotanjant fonksiyonu, $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ şeklinde tanımlanır. Bu tanım, bir açının kosinüs değerinin sinüs değerine oranıdır.
• Tanımsızlık Durumu: Matematikte bir kesirli ifade, paydası sıfır olduğunda tanımsız hale gelir. Örneğin, $\frac{a}{0}$ ifadesi tanımsızdır. Dolayısıyla, $\cot(x)$ fonksiyonunun tanımsız olması için paydasındaki $\sin(x)$ ifadesinin sıfır olması gerekir. Yani, $\sin(x) = 0$ olmalıdır.
• Sinüs Fonksiyonunun Sıfır Olduğu Açılar: Şimdi, sinüs fonksiyonunun hangi açılarda sıfır değerini aldığını bulalım. Birim çember üzerinde düşündüğümüzde, sinüs değeri (y-koordinatı) sıfır olan açılar şunlardır: $0^\circ$, $180^\circ$, $360^\circ$, $-180^\circ$ ve bu açıların $180^\circ$'nin tam katları şeklinde devam eden tüm değerleri ($k \cdot 180^\circ$, burada $k$ bir tam sayıdır).
• Seçeneklerin Değerlendirilmesi: Yukarıdaki bilgiye dayanarak, verilen seçeneklerdeki açıları $\sin(x) = 0$ koşuluna göre inceleyelim:

  A) $0^\circ$ ve $180^\circ$: $\sin(0^\circ) = 0$ ve $\sin(180^\circ) = 0$. Bu açılarda sinüs değeri sıfır olduğu için kotanjant fonksiyonu tanımsızdır. Bu seçenek, aradığımız koşulu sağlamaktadır.

  B) $90^\circ$ ve $270^\circ$: $\sin(90^\circ) = 1$ ve $\sin(270^\circ) = -1$. Bu açılarda sinüs değeri sıfır değildir. Hatta bu açılarda kotanjant değeri sıfırdır ($\cot(90^\circ) = 0$, $\cot(270^\circ) = 0$).

  C) $45^\circ$ ve $225^\circ$: $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ve $\sin(225^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Bu açılarda sinüs değeri sıfır değildir.

  D) $30^\circ$ ve $210^\circ$: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ ve $\sin(210^\circ) = -\frac{1}{2}$. Bu açılarda sinüs değeri sıfır değildir.

Bu durumda, kotanjant fonksiyonunun tanımsız olduğu açılar $0^\circ$ ve $180^\circ$'dir.

Cevap A seçeneğidir.