Sinüs ve kosinüs değerlerinin kareleri toplamı her zaman kaçtır?
A) 0Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soru, trigonometrinin en temel ve en önemli özdeşliklerinden birini anlamamızı gerektiriyor. Adım adım bu konuyu inceleyelim:
Trigonometride, herhangi bir '$x$' açısı için geçerli olan çok özel ve temel bir ilişki vardır. Bu ilişki şöyledir:
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
Burada '$x$' sembolü, herhangi bir açıyı temsil eder. Örneğin, $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ veya herhangi başka bir açı olabilir. $\sin^2 x$ ifadesi, $(\sin x)^2$ anlamına gelirken, $\cos^2 x$ ifadesi de $(\cos x)^2$ anlamına gelir.
Bu özdeşlik, aslında Pisagor Teoremi'nin bir sonucudur. Birim çember (merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan çember) üzerinde bir nokta düşündüğümüzde, bu noktanın koordinatları $(\cos x, \sin x)$ olarak ifade edilir. Bu noktanın orijine olan uzaklığı her zaman 1 birimdir (çünkü yarıçap 1'dir).
Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir. Birim çemberdeki bu noktayı ve orijini birleştirdiğimizde oluşan dik üçgende, dik kenarların uzunlukları $|\cos x|$ ve $|\sin x|$ olurken, hipotenüsün uzunluğu 1'dir. Bu durumda:
$(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1^2$
Yani,
$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$
Bu, açının ne olduğundan bağımsız olarak, sinüs değerinin karesi ile kosinüs değerinin karesinin toplamının her zaman $1$ olacağı anlamına gelir.
Soru bize tam olarak "Sinüs ve kosinüs değerlerinin kareleri toplamı her zaman kaçtır?" diye soruyor. Yukarıda açıkladığımız temel trigonometrik özdeşlik gereği, bu toplam her zaman $1$'e eşittir.
Cevap B seçeneğidir.
