Bir sütun grafiğinde verilen değerlerin toplamı 200'dür. Grafikteki en büyük sütun 50 değerine, en küçük sütun ise 10 değerine karşılık gelmektedir. Diğer sütunların değerleri eşit olduğuna göre, kaç sütun vardır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde bir sütun grafiğindeki değerlerin toplamı ve bazı sütunlar hakkında bilgiler verilmiş. Adım adım ilerleyerek soruyu çözelim.
-
Adım 1: Bilinen Değerleri Belirleyelim.
- Grafikteki tüm sütunların toplam değeri: $200$
- En büyük sütunun değeri: $50$
- En küçük sütunun değeri: $10$
-
Adım 2: En Büyük ve En Küçük Sütunların Toplamını Hesaplayalım.
- Grafikteki en büyük ve en küçük sütunların değerlerini toplayalım: $50 + 10 = 60$.
-
Adım 3: Geriye Kalan Sütunların Toplam Değerini Bulalım.
- Toplam değerden, bilinen en büyük ve en küçük iki sütunun değerini çıkararak, diğer sütunların toplam değerini buluruz: $200 - 60 = 140$.
- Bu $140$ değeri, en büyük ve en küçük sütun dışındaki "diğer" sütunların toplamıdır.
-
Adım 4: "Diğer" Sütunların Sayısını ve Değerini Tanımlayalım.
- Soruda "Diğer sütunların değerleri eşit" deniyor. Bu "diğer" sütunların sayısına $n$ diyelim.
- Her bir "diğer" sütunun değerine ise $x$ diyelim.
- Bu durumda, $n$ tane $x$ değerindeki sütunun toplamı $140$ olmalıdır. Yani, $n \cdot x = 140$.
-
Adım 5: "Diğer" Sütunların Değeri İçin Koşulları Belirleyelim.
- Grafikteki en büyük sütun $50$ değerine, en küçük sütun ise $10$ değerine karşılık geldiğine göre, "diğer" sütunların değeri $x$, bu iki değerin arasında olmalıdır. Yani $10 < x < 50$.
- Eğer $x \le 10$ olsaydı, $10$ en küçük sütun olmazdı veya birden fazla en küçük sütun olurdu.
- Eğer $x \ge 50$ olsaydı, $50$ en büyük sütun olmazdı veya birden fazla en büyük sütun olurdu.
- Bu nedenle, $10 < x < 50$ koşulu geçerlidir.
-
Adım 6: "Diğer" Sütunların Sayısı ($n$) İçin Eşitsizliği Çözelim.
- $x = \frac{140}{n}$ ifadesini $10 < x < 50$ eşitsizliğine yerine koyalım:
- $10 < \frac{140}{n} < 50$
- Bu eşitsizliği iki parçaya ayıralım:
- a) $10 < \frac{140}{n}$
- Her iki tarafı $n$ ile çarpalım (sütun sayısı pozitif olduğu için eşitsizlik yön değiştirmez): $10n < 140$
- $n < \frac{140}{10}$
- $n < 14$
- b) $\frac{140}{n} < 50$
- Her iki tarafı $n$ ile çarpalım: $140 < 50n$
- $\frac{140}{50} < n$
- $2.8 < n$
- Bu iki eşitsizliği birleştirirsek, "diğer" sütunların sayısı $n$ için şu aralığı buluruz: $2.8 < n < 14$.
-
Adım 7: Toplam Sütun Sayısını Bulalım.
- Sütun sayısı $n$ bir tam sayı olmalıdır. Bu durumda $2.8 < n < 14$ koşulunu sağlayan $n$ değerleri $3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13$ olabilir.
- Soruda tek bir cevap beklendiği için, bu tür durumlarda genellikle en küçük geçerli tam sayı değeri tercih edilir veya seçeneklerden hangisinin bu koşulu sağladığına bakılır.
- $n$ için en küçük tam sayı değeri $3$'tür. Bu durumda her bir "diğer" sütunun değeri $x = \frac{140}{3} \approx 46.67$ olur ki bu değer $10$ ile $50$ arasındadır.
- Toplam sütun sayısı, en büyük ve en küçük sütunlar da dahil olmak üzere: $N = 1 (\text{en büyük}) + 1 (\text{en küçük}) + n (\text{diğer})$
- $N = 2 + 3 = 5$ olur.
Bu durumda grafikte toplam $5$ sütun vardır.
Cevap B seçeneğidir.
