tan(2a) formülü Test 1

$\tan(a) = \frac{3}{4}$ ise, $\tan(2a)$ değeri kaçtır?

A) $\frac{24}{7}$
B) $\frac{3}{2}$
C) $\frac{7}{24}$
D) $\frac{4}{3}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir açının tanjant değeri verildiğinde, o açının iki katının tanjant değerini bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözmek için trigonometrideki yarım açı formüllerini veya daha doğru ifadeyle iki kat açı formüllerini kullanırız. Özellikle tanjant için olan formülü hatırlamamız gerekiyor.

• Adım 1: Verilen Bilgiyi Anlama
• Bize $\tan(a) = \frac{3}{4}$ bilgisi verilmiş. Bu, $a$ açısının tanjant değerinin $\frac{3}{4}$ olduğu anlamına gelir.
• Adım 2: İki Kat Açı Formülünü Hatırlama
• $\tan(2a)$ değerini bulmak için kullanacağımız formül şudur:

  $\tan(2a) = \frac{2\tan(a)}{1 - \tan^2(a)}$

  Bu formül, bir açının tanjant değerini bildiğimizde, o açının iki katının tanjant değerini kolayca hesaplamamızı sağlar.
• Adım 3: Verilen Değeri Formülde Yerine Koyma
• Şimdi, $\tan(a) = \frac{3}{4}$ değerini formüldeki yerine yazalım:

  $\tan(2a) = \frac{2 \left(\frac{3}{4}\right)}{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2}$

• Adım 4: Pay ve Paydayı Ayrı Ayrı Hesaplama
• Önce pay kısmını hesaplayalım:

  $2 \times \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

  Şimdi de payda kısmını hesaplayalım. Önce $\tan^2(a)$ değerini bulmalıyız:

  $\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$

  Şimdi bu değeri paydanın tamamında yerine koyalım:

  $1 - \frac{9}{16}$

  Bu çıkarma işlemini yapmak için $1$ sayısını $\frac{16}{16}$ olarak yazalım:

  $\frac{16}{16} - \frac{9}{16} = \frac{16 - 9}{16} = \frac{7}{16}$

• Adım 5: Sonuçları Birleştirme ve Sadeleştirme
• Şimdi bulduğumuz pay ve payda değerlerini ana kesirde yerine yazalım:

  $\tan(2a) = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}$

  Bir kesri başka bir kesre bölmek için, ilk kesri ikinci kesrin tersiyle çarparız:

  $\tan(2a) = \frac{3}{2} \times \frac{16}{7}$

  Çarpma işlemini yapalım:

  $\tan(2a) = \frac{3 \times 16}{2 \times 7} = \frac{48}{14}$

  Bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem pay hem de payda $2$ ile bölünebilir:

  $\tan(2a) = \frac{48 \div 2}{14 \div 2} = \frac{24}{7}$

• Adım 6: Seçeneklerle Karşılaştırma
• Bulduğumuz $\frac{24}{7}$ değeri seçeneklere baktığımızda A seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap A seçeneğidir.