Bu problem, yerçekimi ivmesi altında serbest düşen bir cismin hareketini incelemektedir. Hava direncinin ihmal edildiği varsayımıyla, cismin düşme süresi ile yüksekliği arasındaki ilişkiyi bulmamız gerekiyor.
- Temel Fizik Prensibi: Serbest düşen bir cisim, başlangıç hızı sıfır olduğunda, sabit yerçekimi ivmesi ($g$) ile hareket eder. Bu tür bir hareket için konum denklemi şöyledir:
- $h = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2$
- Burada $h$ cismin düştüğü yükseklik, $v_0$ cismin başlangıç hızı, $t$ düşme süresi ve $g$ yerçekimi ivmesidir. Cisim serbest bırakıldığı için başlangıç hızı $v_0 = 0$'dır. Bu durumda denklemimiz basitleşir:
- $h = \frac{1}{2}gt^2$
- İlk Durumun Analizi: Cisim $h$ yüksekliğinden serbest bırakıldığında yere $t$ sürede düşüyor. Bu durumu yukarıdaki denklemle ifade edelim:
- $h = \frac{1}{2}gt^2 \quad \text{(Denklem 1)}$
- İkinci Durumun Analizi: Aynı cisim $4h$ yüksekliğinden serbest bırakılsaydı yere düşme süresi ne olurdu? Bu yeni süreyi $t'$ ile gösterelim.
- $4h = \frac{1}{2}g(t')^2 \quad \text{(Denklem 2)}$
- Denklemleri Birleştirme: Şimdi Denklem 1'deki $h$ ifadesini Denklem 2'ye yerine koyalım.
- Denklem 1'den biliyoruz ki $h = \frac{1}{2}gt^2$.
- Bu ifadeyi Denklem 2'deki $h$ yerine yazarsak:
- $4 \left( \frac{1}{2}gt^2 \right) = \frac{1}{2}g(t')^2$
- Denklemi basitleştirelim:
- $2gt^2 = \frac{1}{2}g(t')^2$
- Denklemin her iki tarafını $g$ ile sadeleştirebiliriz (çünkü $g \neq 0$):
- $2t^2 = \frac{1}{2}(t')^2$
- Şimdi $t'$ değerini bulmak için denklemi düzenleyelim. Her iki tarafı $2$ ile çarpalım:
- $4t^2 = (t')^2$
- Her iki tarafın karekökünü alalım:
- $\sqrt{4t^2} = \sqrt{(t')^2}$
- $2t = t'$
- Bu durumda, cisim $4h$ yüksekliğinden serbest bırakıldığında yere düşme süresi $2t$ olur.
Cevap B seçeneğidir.
