Bir matematik öğretmeni tahtaya "|x - 2| + |x + 3| = 7" denklemini yazmıştır. Bu denklemin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {-4, 3}Mutlak değer denklemlerini çözerken, mutlak değer içindeki ifadelerin işaret değiştirdiği kritik noktaları belirlemek ve bu noktalara göre sayı doğrusunu aralıklara ayırmak önemlidir. Bu yöntem, denklemi adım adım çözmemizi sağlar.
Denklemimiz $ |x - 2| + |x + 3| = 7 $ şeklindedir. Mutlak değer içindeki ifadeleri sıfır yapan $x$ değerleri kritik noktalardır:
$ x - 2 = 0 \implies x = 2 $
$ x + 3 = 0 \implies x = -3 $
Bu kritik noktalar ($-3$ ve $2$) sayı doğrusunu üç farklı aralığa ayırır: $ x < -3 $, $ -3 \le x < 2 $ ve $ x \ge 2 $.
Şimdi her bir aralıkta mutlak değer ifadelerinin işaretini belirleyerek denklemi çözelim:
1. Durum: $ x < -3 $
Bu aralıkta, hem $ x - 2 $ hem de $ x + 3 $ ifadeleri negatiftir. Dolayısıyla mutlak değerleri dışarı çıkarırken önüne eksi işareti alırız:
$ |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2 $
$ |x + 3| = -(x + 3) = -x - 3 $
Denklem şu hale gelir:
$ (-x + 2) + (-x - 3) = 7 $
$ -2x - 1 = 7 $
$ -2x = 8 $
$ x = -4 $
Bulduğumuz $ x = -4 $ değeri, $ x < -3 $ aralığında olduğu için bir çözümdür.
2. Durum: $ -3 \le x < 2 $
Bu aralıkta, $ x - 2 $ ifadesi negatif, $ x + 3 $ ifadesi ise pozitiftir:
$ |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2 $
$ |x + 3| = x + 3 $
Denklem şu hale gelir:
$ (-x + 2) + (x + 3) = 7 $
$ 5 = 7 $
Bu bir çelişkidir ($5$ sayısı $7$'ye eşit değildir). Dolayısıyla bu aralıkta denklemin çözümü yoktur.
3. Durum: $ x \ge 2 $
Bu aralıkta, hem $ x - 2 $ hem de $ x + 3 $ ifadeleri pozitiftir. Dolayısıyla mutlak değerleri dışarı çıkarırken aynen yazılırlar:
$ |x - 2| = x - 2 $
$ |x + 3| = x + 3 $
Denklem şu hale gelir:
$ (x - 2) + (x + 3) = 7 $
$ 2x + 1 = 7 $
$ 2x = 6 $
$ x = 3 $
Bulduğumuz $ x = 3 $ değeri, $ x \ge 2 $ aralığında olduğu için bir çözümdür.
Tüm aralıklardan elde ettiğimiz çözümleri bir araya getirirsek, denklemin çözüm kümesi $ \{-4, 3\} $ olur.
Cevap A seçeneğidir.
