Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir polinom belirtir?
A) $f(x) = 3x^{-2} + 5x + 1$
B) $f(x) = \sqrt{x} + 2x - 3$
C) $f(x) = \frac{1}{x} + x^2 + 1$
D) $f(x) = 4x^3 - x + 7$
E) $f(x) = |x| + x - 2$
Merhaba öğrenciler, bu soruda bir ifadenin ne zaman bir polinom olduğunu anlamamız gerekiyor. Bir ifadenin polinom olabilmesi için bazı temel kuralları vardır. Şimdi bu kuralları hatırlayalım ve seçenekleri tek tek inceleyelim.
Bir İfade Ne Zaman Polinom Olur?
- Bir polinomda, değişkenin (genellikle $x$) kuvvetleri (üsleri) daima negatif olmayan tam sayılar olmalıdır. Yani $0, 1, 2, 3, \dots$ gibi sayılar olmalıdır.
- Değişken, kök içinde ($\sqrt{x}$ gibi), paydada ($\frac{1}{x}$ gibi) veya mutlak değer içinde ($|x|$ gibi) bulunmamalıdır.
Şimdi seçenekleri bu kurallara göre inceleyelim:
- A) $f(x) = 3x^{-2} + 5x + 1$
- Bu ifadede $3x^{-2}$ terimi bulunmaktadır. Burada $x$'in kuvveti $-2$'dir.
- $-2$ bir negatif tam sayı olduğu için bu ifade bir polinom değildir.
- B) $f(x) = \sqrt{x} + 2x - 3$
- Bu ifadede $\sqrt{x}$ terimi bulunmaktadır. $\sqrt{x}$ ifadesi $x^{1/2}$ olarak da yazılabilir.
- $x$'in kuvveti $1/2$ bir tam sayı değildir (kesirli bir sayıdır).
- Ayrıca değişken kök içinde olduğu için bu ifade bir polinom değildir.
- C) $f(x) = \frac{1}{x} + x^2 + 1$
- Bu ifadede $\frac{1}{x}$ terimi bulunmaktadır. $\frac{1}{x}$ ifadesi $x^{-1}$ olarak da yazılabilir.
- $x$'in kuvveti $-1$ bir negatif tam sayı olduğu için bu ifade bir polinom değildir.
- Ayrıca değişken paydada olduğu için de bu ifade bir polinom değildir.
- D) $f(x) = 4x^3 - x + 7$
- Bu ifadede terimler $4x^3$, $-x$ (yani $-1x^1$) ve $7$ (yani $7x^0$) şeklindedir.
- $x$'in kuvvetleri sırasıyla $3$, $1$ ve $0$'dır.
- Tüm bu kuvvetler ($3, 1, 0$) negatif olmayan tam sayılardır.
- Değişken kök içinde, paydada veya mutlak değer içinde değildir.
- Bu nedenle, bu ifade bir polinomdur.
- E) $f(x) = |x| + x - 2$
- Bu ifadede $|x|$ terimi bulunmaktadır.
- Polinomlar, değişkenin mutlak değerini içermezler.
- Bu nedenle, bu ifade bir polinom değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece D seçeneğindeki ifadenin polinom olma şartlarını sağladığını görüyoruz.
Cevap D seçeneğidir.
