Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki rasyonel sayı arasında kalan bir başka rasyonel sayıyı bulmamız isteniyor. Rasyonel sayıları karşılaştırmanın en kolay yollarından biri, hepsini ortak bir paydaya getirmektir. Özellikle negatif sayılarla çalışırken bu yöntem karışıklığı önler.
- 1. Adım: Sınırları Belirleyelim ve Ortak Paydaya Getirelim
- Bize verilen sayılar $ -\frac{1}{3} $ ve $ -\frac{1}{2} $. Bu iki sayının paydaları 3 ve 2. Bu paydaların en küçük ortak katı (EKOK) 6'dır.
- $ -\frac{1}{3} $ sayısını paydayı 6 yapacak şekilde genişletelim: $ -\frac{1 \times 2}{3 \times 2} = -\frac{2}{6} $
- $ -\frac{1}{2} $ sayısını paydayı 6 yapacak şekilde genişletelim: $ -\frac{1 \times 3}{2 \times 3} = -\frac{3}{6} $
- Şimdi, aradığımız sayı $ -\frac{3}{6} $ ile $ -\frac{2}{6} $ arasında olmalıdır. Negatif sayılarda, sayı doğrusunda sıfıra daha yakın olan sayı daha büyüktür. Yani $ -\frac{2}{6} $ sayısı $ -\frac{3}{6} $ sayısından daha büyüktür. Bu durumda, aradığımız sayı $ x $ için $ -\frac{3}{6} < x < -\frac{2}{6} $ eşitsizliği geçerli olmalıdır.
- Fakat $ -\frac{3}{6} $ ile $ -\frac{2}{6} $ arasında, paydası 6 olan bir tam sayı değeri yoktur. Bu durumda, daha büyük bir ortak paydaya ihtiyacımız var ki aralıkta daha fazla "yer" açabilelim. Seçeneklerdeki paydaları da göz önünde bulunduralım: 5 ve 4.
- 3, 2, 5 ve 4 sayılarının en küçük ortak katı (EKOK) 60'tır. Tüm sayıları paydayı 60 yapacak şekilde genişletelim.
- $ -\frac{1}{3} = -\frac{1 \times 20}{3 \times 20} = -\frac{20}{60} $
- $ -\frac{1}{2} = -\frac{1 \times 30}{2 \times 30} = -\frac{30}{60} $
- Şimdi, aradığımız sayı $ -\frac{30}{60} $ ile $ -\frac{20}{60} $ arasında olmalıdır. Yani $ -\frac{30}{60} < x < -\frac{20}{60} $.
- 2. Adım: Seçenekleri Ortak Paydaya Getirelim ve Karşılaştıralım
- Her bir seçeneği paydayı 60 yapacak şekilde genişletelim ve $ -\frac{30}{60} $ ile $ -\frac{20}{60} $ aralığında olup olmadığını kontrol edelim.
- A) $ -\frac{2}{5} $
- $ -\frac{2}{5} = -\frac{2 \times 12}{5 \times 12} = -\frac{24}{60} $
- Şimdi kontrol edelim: $ -\frac{30}{60} < -\frac{24}{60} < -\frac{20}{60} $ mi?
- Evet, çünkü $-30 < -24 < -20$ doğru bir ifadedir. $ -\frac{24}{60} $ sayısı $ -\frac{30}{60} $ ile $ -\frac{20}{60} $ arasındadır.
- B) $ -\frac{1}{4} $
- $ -\frac{1}{4} = -\frac{1 \times 15}{4 \times 15} = -\frac{15}{60} $
- Kontrol edelim: $ -\frac{30}{60} < -\frac{15}{60} < -\frac{20}{60} $ mi?
- Hayır, çünkü $ -\frac{15}{60} $ sayısı $ -\frac{20}{60} $'dan daha büyüktür (sıfıra daha yakındır). Yani $ -\frac{15}{60} $ bu aralıkta değildir.
- C) $ -\frac{3}{4} $
- $ -\frac{3}{4} = -\frac{3 \times 15}{4 \times 15} = -\frac{45}{60} $
- Kontrol edelim: $ -\frac{30}{60} < -\frac{45}{60} < -\frac{20}{60} $ mi?
- Hayır, çünkü $ -\frac{45}{60} $ sayısı $ -\frac{30}{60} $'dan daha küçüktür (sıfırdan daha uzaktır). Yani $ -\frac{45}{60} $ bu aralıkta değildir.
- D) $ -\frac{1}{5} $
- $ -\frac{1}{5} = -\frac{1 \times 12}{5 \times 12} = -\frac{12}{60} $
- Kontrol edelim: $ -\frac{30}{60} < -\frac{12}{60} < -\frac{20}{60} $ mi?
- Hayır, çünkü $ -\frac{12}{60} $ sayısı $ -\frac{20}{60} $'dan daha büyüktür. Yani $ -\frac{12}{60} $ bu aralıkta değildir.
Yapılan karşılaştırmalar sonucunda, sadece $ -\frac{2}{5} $ sayısının $ -\frac{1}{3} $ ile $ -\frac{1}{2} $ arasında olduğu görülmüştür.
Cevap A seçeneğidir.
