Gerçek sayılar kümesinde $A = (-\infty, 4]$ ve $B = (-1, \infty)$ aralıkları veriliyor. $A \cup B$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(-1, 4]$
B) $\mathbb{R}$
C) $(-\infty, -1)$
D) $[4, \infty)$
E) $\emptyset$
Bu soruyu çözmek için öncelikle $A$ ve $B$ kümelerinin ne anlama geldiğini anlamamız gerekiyor. Kümelerin birleşimini (union) bulacağız. Unutmayın, birleşim demek, her iki kümedeki tüm elemanları içeren yeni bir küme oluşturmak demektir.
- Adım 1: Kümeleri Anlama
- $A = (-\infty, 4]$ aralığı, eksi sonsuzdan başlayıp 4'e kadar olan tüm gerçek sayıları içerir. 4 de bu aralığa dahildir (köşeli parantezden dolayı).
- $B = (-1, \infty)$ aralığı, -1'den başlayıp sonsuza kadar olan tüm gerçek sayıları içerir. -1 bu aralığa dahil değildir (yuvarlak parantezden dolayı).
- Adım 2: Sayı Doğrusunda Gösterme
- Sayı doğrusu üzerinde $A$ ve $B$ kümelerini görsel olarak temsil edebiliriz. Bu, hangi sayıların her iki kümeye ait olduğunu veya hangi sayıların en az bir kümeye ait olduğunu görmemize yardımcı olur.
- Adım 3: Kümelerin Birleşimini Bulma ($A \cup B$)
- $A \cup B$, $A$ kümesindeki tüm elemanları ve $B$ kümesindeki tüm elemanları içerir. Yani, eksi sonsuzdan 4'e kadar olan sayılar ve -1'den sonsuza kadar olan sayılar.
- Dikkat ederseniz, -1 ile 4 arasındaki tüm sayılar hem $A$ hem de $B$ kümelerinde yer alıyor. -1'den küçük sayılar $A$'da, 4'ten büyük sayılar $B$'de yer alıyor. Bu durumda, tüm gerçek sayılar bu iki kümenin birleşiminde yer alır.
- Adım 4: Sonucu İfade Etme
- Tüm gerçek sayılar kümesi $\mathbb{R}$ ile gösterilir. Bu nedenle, $A \cup B = \mathbb{R}$'dir.
Bu nedenle, $A \cup B = \mathbb{R}$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
