8. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 4. senaryo Test 3

Bir marangoz, boyutları $120 \text{ cm}$ ve $180 \text{ cm}$ olan dikdörtgen şeklindeki bir tahtayı hiç parça artırmadan eşit büyüklükte kare parçalara ayırmak istiyor. Marangozun elde edeceği en büyük kare parçalardan birinin bir kenar uzunluğu kaç $\text{cm}$'dir? Bu işlem sonucunda toplam kaç kare parça elde edilir?

A) $30 \text{ cm}$, 12 parça
B) $40 \text{ cm}$, 9 parça
C) $60 \text{ cm}$, 6 parça
D) $60 \text{ cm}$, 9 parça

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde, bir dikdörtgen tahtayı hiç parça artırmadan eşit büyüklükte kare parçalara ayırmak isteyen bir marangozun durumunu inceliyoruz. Amacımız, elde edilecek en büyük kare parçanın bir kenar uzunluğunu ve toplam kaç parça elde edileceğini bulmak.

• Adım 1: En Büyük Kare Parçanın Kenar Uzunluğunu Bulma

  Bir dikdörtgeni hiç parça artırmadan eşit büyüklükte karelere ayırmak istiyorsak, karelerin bir kenar uzunluğu, dikdörtgenin hem uzun kenarının hem de kısa kenarının tam böleni olmalıdır. Ayrıca, "en büyük kare" istendiği için, bu kenar uzunluğu, dikdörtgenin kenar uzunluklarının En Büyük Ortak Böleni (EBOB) olmalıdır.

  Dikdörtgenin kenar uzunlukları $120 \text{ cm}$ ve $180 \text{ cm}$'dir. Şimdi bu iki sayının EBOB'unu bulalım:

  • Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
  • $120 = 12 \times 10 = (2^2 \times 3) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
  • $180 = 18 \times 10 = (2 \times 3^2) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 3^2 \times 5^1$
  • EBOB'u bulmak için, ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanları çarparız:
  • $\text{EBOB}(120, 180) = 2^{\min(3,2)} \times 3^{\min(1,2)} \times 5^{\min(1,1)}$
  • $\text{EBOB}(120, 180) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$

  Buna göre, elde edilecek en büyük kare parçalardan birinin bir kenar uzunluğu $60 \text{ cm}$'dir.

• Adım 2: Toplam Kare Parça Sayısını Bulma

  Kare parçanın bir kenar uzunluğunu $60 \text{ cm}$ olarak bulduk. Şimdi dikdörtgenin her bir kenarına kaç tane bu büyüklükte kare sığdığını bulalım:

  • $120 \text{ cm}$'lik kenar boyunca sığacak kare sayısı: $\frac{120 \text{ cm}}{60 \text{ cm}} = 2$ parça
  • $180 \text{ cm}$'lik kenar boyunca sığacak kare sayısı: $\frac{180 \text{ cm}}{60 \text{ cm}} = 3$ parça

  Toplam kare parça sayısını bulmak için, bu iki sayıyı çarparız:

  Toplam parça sayısı $= 2 \times 3 = 6$ parça.

• Sonuç:

  Marangozun elde edeceği en büyük kare parçalardan birinin bir kenar uzunluğu $60 \text{ cm}$ ve bu işlem sonucunda toplam $6$ kare parça elde edilir.

Cevap C seçeneğidir.