🎓 8. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 4. senaryo Test 5 - Ders Notu
Sevgili öğrenciler, bu ders notu, 8. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 4. senaryo Test 5'te karşınıza çıkabilecek başlıca konular olan kareköklü sayılar ve gerçek sayılar hakkındaki temel bilgileri pekiştirmeniz için hazırlandı. Konuları sade bir dille özetleyerek, sınava daha hazırlıklı girmenizi amaçlıyoruz.
📌 Kareköklü Sayılar: Temeller ve Tam Kare Sayılar
Kareköklü sayılar, bir sayının karesi olan sayının hangi sayıdan geldiğini bulmamızı sağlar. Yani, hangi sayıyı kendisiyle çarparsak kök içindeki sayıyı elde ederiz sorusunun cevabıdır.
- Bir sayının karekökü, o sayının hangi sayının karesi olduğunu gösterir. Örneğin, $\sqrt{25} = 5$ çünkü $5 \times 5 = 25$.
- Tam kare sayılar, karekökü bir tam sayı olan sayılardır. Örnek: $1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots$
- Karekök dışına çıkamayan sayılar da vardır. Örneğin, $\sqrt{7}$ bir tam sayı değildir.
💡 İpucu: İlk 20'ye kadar olan tam kare sayıları ezberlemek, işlemlerde size hız kazandırır!
📌 Kareköklü Sayıları $a\sqrt{b}$ Şeklinde Yazma ve Kök İçine Alma
Bazı kareköklü sayıları daha sade bir şekilde yazabiliriz. Bu, kök içindeki sayının tam kare çarpanlarını bularak yapılır.
- Bir sayıyı kök dışına çıkarmak için, kök içindeki sayının en büyük tam kare çarpanını buluruz. Örneğin, $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
- Bir sayıyı kök içine almak için, kök dışındaki sayıyı karesini alarak kök içine yazarız. Örneğin, $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \times 5} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{45}$.
⚠️ Dikkat: Kök dışına çıkarırken veya kök içine alırken her zaman en büyük tam kare çarpanını bulmaya çalışın. Aksi takdirde işlem uzayabilir.
📌 Kareköklü Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemleri
Kareköklü sayılarla çarpma ve bölme işlemleri oldukça basittir.
- Çarpma: Kök dışındaki sayılar kendi arasında, kök içindeki sayılar kendi arasında çarpılır. Örneğin, $2\sqrt{3} \times 5\sqrt{7} = (2 \times 5)\sqrt{3 \times 7} = 10\sqrt{21}$.
- Bölme: Kök dışındaki sayılar kendi arasında, kök içindeki sayılar kendi arasında bölünür. Örneğin, $\frac{12\sqrt{30}}{3\sqrt{5}} = \frac{12}{3}\sqrt{\frac{30}{5}} = 4\sqrt{6}$.
💡 İpucu: Çarpma ve bölme yaparken, kök içindeki sayılardan tam kare olan varsa, işlemi bitirmeden önce kök dışına çıkarmayı unutmayın.
📌 Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemleri
Toplama ve çıkarma işlemleri için kök içlerinin aynı olması gerekir. Eğer farklıysa, önce kök dışına çıkarma işlemi yaparak kök içlerini eşitlemeye çalışırız.
- Kök içleri aynı olan kareköklü sayılar toplanır veya çıkarılırken, kök dışındaki katsayılar kendi arasında toplanır veya çıkarılır, ortak kök aynen yazılır. Örneğin, $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (5+3)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
- Eğer kök içleri farklıysa, önce $a\sqrt{b}$ şeklinde yazarak kök içlerini eşitlemeye çalışırız. Örneğin, $\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = (2+3)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
⚠️ Dikkat: Kök içleri aynı olmayan kareköklü sayılar toplanamaz veya çıkarılamaz. Örneğin, $3\sqrt{2} + 4\sqrt{5}$ bu haliyle kalır.
📌 Gerçek Sayılar (Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar)
Sayıları farklı kümeler halinde gruplandırırız. Gerçek sayılar kümesi, rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir.
- Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır.
- Örnekler: $5$ (çünkü $\frac{5}{1}$), $-3$ (çünkü $\frac{-3}{1}$), $\frac{2}{3}$, $0.75$ (çünkü $\frac{3}{4}$), $0.\overline{3}$ (çünkü $\frac{1}{3}$).
- Tam sayılar, doğal sayılar ve kesirli sayılar rasyonel sayılardır.
- İrrasyonel Sayılar ($\mathbb{I}$): $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan, ondalık gösterimi devirsiz ve sonsuz devam eden sayılardır.
- Örnekler: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$ (Pi sayısı), $\sqrt{7}$ gibi tam kare olmayan sayıların karekökleri.
- Gerçek Sayılar ($\mathbb{R}$): Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir. Sayı doğrusundaki tüm noktaları temsil eder.
💡 İpucu: Bir sayının rasyonel mi irrasyonel mi olduğunu anlamak için, ondalık gösterimine veya $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılıp yazılamadığına bakın. Eğer ondalık kısmı düzensiz ve sonsuz devam ediyorsa, irrasyoneldir.
📝 Unutmayın, düzenli tekrar ve bol pratik, başarının anahtarıdır. Sınavda hepinize başarılar dileriz!
