Yerden $30^\circ$ açı yapacak şekilde $v_0$ hızıyla eğik atılan bir cisim için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? (Hava direnci ihmal edilmiştir.)
A) Cismin maksimum yüksekliğe ulaştığı anda hızı sıfırdır.
B) Cismin yatay hız bileşeni, hareket boyunca sürekli artar.
C) Cismin düşey hız bileşeni, hareket boyunca sürekli azalır.
D) Cismin uçuş süresi, atıldığı hızın düşey bileşeniyle doğru orantılıdır.
E) Cismin menzili, atıldığı açının sinüs değeriyle ters orantılıdır.
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, eğik atış hareketini ve bu hareketin temel özelliklerini anlamamız gerekiyor. Hava direncinin ihmal edildiği durumlarda, cismin yatay ve düşey hareketlerini ayrı ayrı inceleyebiliriz. Yatayda sabit hızlı hareket, düşeyde ise yer çekimi ivmesinin etkisiyle değişen hızlı hareket söz konusudur.
- A) Cismin maksimum yüksekliğe ulaştığı anda hızı sıfırdır.
- Eğik atış hareketinde, cisim maksimum yüksekliğe ulaştığında düşey hız bileşeni ($v_y$) sıfır olur. Ancak yatay hız bileşeni ($v_x$) hareket boyunca sabittir (hava direnci ihmal edildiği için yatayda bir kuvvet yoktur).
- Bu nedenle, maksimum yükseklikte cismin toplam hızı $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_x^2 + 0^2} = v_x$ olur.
- $v_x$ sıfır olmadığı için (eğer atış açısı $90^\circ$ değilse), cismin hızı maksimum yükseklikte sıfır değildir.
- Bu ifade yanlıştır.
- B) Cismin yatay hız bileşeni, hareket boyunca sürekli artar.
- Hava direncinin ihmal edildiği eğik atış hareketinde, yatay doğrultuda cisme etki eden hiçbir kuvvet yoktur.
- Newton'ın hareket yasalarına göre, net kuvvet sıfır olduğunda cismin hızı sabit kalır.
- Bu nedenle, cismin yatay hız bileşeni ($v_x = v_0 \cos\theta$) hareket boyunca sabittir ve değişmez.
- Bu ifade yanlıştır.
- C) Cismin düşey hız bileşeni, hareket boyunca sürekli azalır.
- Cismin düşey hız bileşeni ($v_y$), yer çekimi ivmesinin etkisi altındadır.
- Cisim yukarı doğru çıkarken, yer çekimi ivmesi düşey hızı azaltır ve maksimum yükseklikte düşey hız sıfır olur.
- Cisim aşağı doğru inerken ise, yer çekimi ivmesi düşey hızı (aşağı yönde) artırır. Yani hızın büyüklüğü artar.
- Dolayısıyla, düşey hız bileşeni önce azalır, sıfır olur ve sonra ters yönde artar. "Sürekli azalır" ifadesi hızın büyüklüğü açısından doğru değildir. Hızın cebirsel değeri (yukarı yönü pozitif alırsak) sürekli azalır, ancak genellikle "azalır" ifadesi büyüklük için kullanılır.
- Bu ifade yanlıştır.
- D) Cismin uçuş süresi, atıldığı hızın düşey bileşeniyle doğru orantılıdır.
- Cismin maksimum yüksekliğe çıkış süresi ($t_{çıkış}$), düşey hız bileşeni sıfır olduğunda hesaplanır: $v_y = v_{0y} - gt_{çıkış} \implies 0 = v_{0y} - gt_{çıkış} \implies t_{çıkış} = \frac{v_{0y}}{g}$.
- Cismin toplam uçuş süresi ($T$), genellikle çıkış süresinin iki katıdır (eğer aynı yükseklikten atılıp aynı yüksekliğe düşüyorsa): $T = 2t_{çıkış} = \frac{2v_{0y}}{g}$.
- Burada $v_{0y}$ atıldığı hızın düşey bileşenidir ($v_0 \sin\theta$).
- Yer çekimi ivmesi ($g$) sabit bir değer olduğu için, uçuş süresi ($T$) atıldığı hızın düşey bileşeni ($v_{0y}$) ile doğru orantılıdır.
- Bu ifade doğrudur.
- E) Cismin menzili, atıldığı açının sinüs değeriyle ters orantılıdır.
- Cismin menzili ($R$), yatay hız bileşeni ile uçuş süresinin çarpımıdır: $R = v_x T$.
- $R = (v_0 \cos\theta) \left(\frac{2v_0 \sin\theta}{g}\right) = \frac{v_0^2 (2 \sin\theta \cos\theta)}{g}$.
- Trigonometrik özdeşlik olan $2 \sin\theta \cos\theta = \sin(2\theta)$ kullanılarak menzil formülü $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$ şeklinde yazılır.
- Menzil, atıldığı açının sinüs değeriyle değil, açının iki katının sinüs değeriyle ($\sin(2\theta)$) doğru orantılıdır. Ayrıca ters orantılı değil, doğru orantılıdır.
- Bu ifade yanlıştır.
Yukarıdaki analizler sonucunda, doğru ifadenin D seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.
Cevap D seçeneğidir.
