Bir top, yerden $30^\circ$ açıyla $40 \text{ m/s}$ ilk hızla atılıyor. Topun maksimum yüksekliğe ulaştığı anda yerden yüksekliği kaç metredir? (Hava sürtünmesi önemsizdir, $g=10 \text{ m/s}^2$, $\sin 30^\circ = 0.5$, $\cos 30^\circ = 0.87$)
A) 20 m
B) 40 m
C) 60 m
D) 80 m
E) 100 m
Merhaba arkadaşlar, bu soruyu adım adım çözerek topun maksimum yüksekliğini bulalım.
- Adım 1: İlk hızın bileşenlerini bulalım. Topun ilk hızı $40 \text{ m/s}$ ve atış açısı $30^\circ$. Bu durumda ilk hızın yatay ve düşey bileşenlerini bulmamız gerekiyor.
- Düşey hız bileşeni ($v_{0y}$): $v_{0y} = v_0 \cdot \sin \theta = 40 \cdot \sin 30^\circ = 40 \cdot 0.5 = 20 \text{ m/s}$
- Yatay hız bileşeni ($v_{0x}$): $v_{0x} = v_0 \cdot \cos \theta = 40 \cdot \cos 30^\circ = 40 \cdot 0.87 = 34.8 \text{ m/s}$ (Yatay hız bileşenine bu soruda ihtiyacımız yok.)
- Adım 2: Maksimum yüksekliğe ulaşma süresini bulalım. Top maksimum yüksekliğe ulaştığında düşey hızı sıfır olur. Yerçekimi ivmesi ($g = 10 \text{ m/s}^2$) düşey hızı azaltacaktır.
- $v_y = v_{0y} - gt$ formülünü kullanalım. Maksimum yükseklikte $v_y = 0$ olduğundan, $0 = 20 - 10t$ olur.
- Buradan $t = \frac{20}{10} = 2 \text{ s}$ olarak bulunur. Yani top 2 saniyede maksimum yüksekliğe ulaşır.
- Adım 3: Maksimum yüksekliği hesaplayalım. Topun düşeyde aldığı yolu (yani maksimum yüksekliği) bulmak için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:
- $h = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$
- $h = 20 \cdot 2 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2^2 = 40 - 5 \cdot 4 = 40 - 20 = 20 \text{ m}$
Bu durumda topun maksimum yüksekliğe ulaştığı anda yerden yüksekliği 20 metredir.
Cevap A seçeneğidir.
