9. f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x² - 4 fonksiyonları veriliyor. f(g(x)) < 5 eşitsizliğini sağlayan x tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
A) -3Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, verilen iki fonksiyonu kullanarak bir bileşke fonksiyon oluşturacak ve ardından bir eşitsizliği çözerek istenen tam sayı değerlerinin toplamını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Bize $f(x) = 2x + 1$ ve $g(x) = x^2 - 4$ fonksiyonları verilmiş. $f(g(x))$ demek, $f$ fonksiyonunda $x$ gördüğümüz yere $g(x)$ fonksiyonunu yazmak demektir. Hadi yapalım:
$f(g(x)) = 2 \cdot (g(x)) + 1$
$g(x)$'in değerini yerine yazarsak:
$f(g(x)) = 2 \cdot (x^2 - 4) + 1$
Şimdi bu ifadeyi düzenleyelim:
$f(g(x)) = 2x^2 - 8 + 1$
$f(g(x)) = 2x^2 - 7$
Soruda bize $f(g(x)) < 5$ eşitsizliği verilmişti. Bir önceki adımda bulduğumuz $f(g(x))$ ifadesini bu eşitsizlikte yerine yazalım:
$2x^2 - 7 < 5$
Şimdi bu eşitsizliği çözerek $x$'in hangi aralıkta olduğunu bulalım:
$2x^2 - 7 < 5$
$-7$'yi eşitsizliğin sağ tarafına $+7$ olarak atalım:
$2x^2 < 5 + 7$
$2x^2 < 12$
Her iki tarafı $2$'ye bölelim:
$x^2 < 6$
Bu eşitsizlik, $x$ değerlerinin $-\sqrt{6}$ ile $\sqrt{6}$ arasında olması gerektiğini ifade eder. Yani:
$-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}$
$\sqrt{6}$'nın yaklaşık değerini bulalım. $2^2 = 4$ ve $3^2 = 9$ olduğundan, $\sqrt{6}$ sayısı $2$ ile $3$ arasındadır. Yaklaşık olarak $\sqrt{6} \approx 2.45$'tir.
O halde eşitsizlik aralığımız yaklaşık olarak şöyledir:
$-2.45 < x < 2.45$
$-2.45 < x < 2.45$ aralığında bulunan tam sayılar şunlardır:
$x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$
Bulduğumuz bu tam sayı değerlerini toplayalım:
Toplam $= (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2$
Toplam $= -2 - 1 + 0 + 1 + 2$
Toplam $= 0$
Böylece eşitsizliği sağlayan $x$ tam sayı değerlerinin toplamını $0$ olarak bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
