Büyüklükleri $3 \text{ birim}$ ve $4 \text{ birim}$ olan iki vektör arasındaki açı $90^\circ$ ise, bu iki vektörün bileşkesinin büyüklüğü kaç birimdir?
A) 1Merhaba sevgili öğrenciler!
Vektörler, hem büyüklüğü hem de yönü olan fiziksel niceliklerdir. İki veya daha fazla vektörün bir araya gelmesiyle oluşan etkiyi gösteren tek bir vektöre bileşke vektör denir. Bu soruda, iki vektörün bileşkesinin büyüklüğünü bulmamız isteniyor.
Soruda bize iki vektörün büyüklükleri ve aralarındaki açı verilmiş:
Bizden bu iki vektörün bileşkesinin büyüklüğünü bulmamız isteniyor.
İki vektörün bileşkesinin büyüklüğünü bulmak için genel bir formülümüz vardır. Eğer iki vektörün büyüklükleri $A$ ve $B$, aralarındaki açı $\theta$ ise, bileşke vektörün büyüklüğü $R$ aşağıdaki formülle bulunur:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos\theta}$
Soruda vektörler arasındaki açının $90^\circ$ olduğu belirtilmiş. Bu, vektörlerin birbirine dik olduğu anlamına gelir. $\cos 90^\circ$ değeri $0$'dır. Bu değeri formülde yerine yazarsak:
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos(90^\circ)}$
$R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB (0)}$
$R = \sqrt{A^2 + B^2}$
Gördüğünüz gibi, vektörler birbirine dik olduğunda bileşke vektörün büyüklüğü, Pisagor teoremi kullanılarak bulunur. Bu, dik üçgenin hipotenüsünü bulmaya benzer, çünkü iki dik vektör ve onların bileşkesi bir dik üçgen oluşturur.
Şimdi verilen büyüklükleri $A=3 \text{ birim}$ ve $B=4 \text{ birim}$ formülde yerine yazalım:
$R = \sqrt{3^2 + 4^2}$
$R = \sqrt{9 + 16}$
$R = \sqrt{25}$
$R = 5 \text{ birim}$
Buna göre, büyüklükleri $3 \text{ birim}$ ve $4 \text{ birim}$ olan ve aralarındaki açı $90^\circ$ olan iki vektörün bileşkesinin büyüklüğü $5 \text{ birim}$dir.
Cevap B seçeneğidir.
