Analitik düzlemde $A(1, 4)$ ve $B(5, 0)$ noktaları veriliyor. $AB$ doğru parçasını $\frac{|AC|}{|CB|} = 3$ oranında dıştan bölen $C$ noktasının koordinatları nedir?
A) $(7, -2)$
B) $(8, -2)$
C) $(7, -1)$
D) $(8, -1)$
E) $(9, -3)$
Analitik düzlemde bir doğru parçasını dıştan bölen bir noktanın koordinatlarını bulmak için özel bir formül kullanırız. Bu problemde $A(1, 4)$ ve $B(5, 0)$ noktaları ile $\frac{|AC|}{|CB|} = 3$ oranı verilmiştir.
- Dıştan Bölme Formülünü Anlayalım: Bir $A(x_1, y_1)$ ve $B(x_2, y_2)$ doğru parçasını $\frac{|AC|}{|CB|} = k$ oranında dıştan bölen $C(x, y)$ noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle bulunur: $x = \frac{k \cdot x_2 - x_1}{k - 1}$ ve $y = \frac{k \cdot y_2 - y_1}{k - 1}$. Burada $k$ oranı $1$'den büyük olduğu için ($k=3$), $C$ noktası $B$ noktasının $A$'ya göre dış tarafında yer alacaktır. Yani $A-B-C$ sıralaması geçerlidir.
- Verilen Değerleri Belirleyelim: Soruda verilen noktalar $A(x_1, y_1) = (1, 4)$ ve $B(x_2, y_2) = (5, 0)$'dır. Dıştan bölme oranı ise $k = 3$'tür.
- $C$ noktasının x-koordinatını hesaplayalım: Dıştan bölme formülünü kullanarak $x$ değerini bulalım: $x = \frac{k \cdot x_2 - x_1}{k - 1}$. Verilen değerleri yerine yazarsak: $x = \frac{3 \cdot 5 - 1}{3 - 1} = \frac{15 - 1}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
- $C$ noktasının y-koordinatını hesaplayalım: Benzer şekilde, $y$ değerini bulalım: $y = \frac{k \cdot y_2 - y_1}{k - 1}$. Verilen değerleri yerine yazarsak: $y = \frac{3 \cdot 0 - 4}{3 - 1} = \frac{0 - 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
- Sonuç: Yapılan hesaplamalar sonucunda $C$ noktasının koordinatları $(7, -2)$ olarak bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
