Analitik düzlemde $A(x, y)$, $B(3, 5)$ ve $C(7, 1)$ noktaları veriliyor. $B$ noktası $AC$ doğru parçasının orta noktası olduğuna göre, $A$ noktasının koordinatları nedir?
A) $(-1, 9)$
B) $(-1, 8)$
C) $(0, 9)$
D) $(0, 8)$
E) $(1, 9)$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, analitik düzlemde üç nokta verilmiş ve bir noktanın diğer iki noktanın oluşturduğu doğru parçasının orta noktası olduğu bilgisiyle, bilinmeyen bir noktanın koordinatlarını bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken orta nokta formülünü kullanacağız. Haydi adım adım çözelim!
- 1. Adım: Verilen Bilgileri Belirleyelim.
- $A$ noktasının koordinatları: $A(x_A, y_A)$ (Bunu bulmamız gerekiyor.)
- $B$ noktasının koordinatları: $B(3, 5)$
- $C$ noktasının koordinatları: $C(7, 1)$
- $B$ noktası, $AC$ doğru parçasının orta noktasıdır.
- 2. Adım: Orta Nokta Formülünü Hatırlayalım.
- Eğer bir $M(x_M, y_M)$ noktası, $P_1(x_1, y_1)$ ve $P_2(x_2, y_2)$ noktalarının oluşturduğu doğru parçasının orta noktası ise, koordinatları şu formüllerle bulunur:
$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$
- 3. Adım: Formülü Uygulayalım - x Koordinatları İçin.
- Burada $A(x_A, y_A)$ noktasını $P_1$, $C(7, 1)$ noktasını $P_2$ ve $B(3, 5)$ noktasını $M$ olarak düşünebiliriz.
- $x$ koordinatları için orta nokta formülünü uygulayalım:
$x_B = \frac{x_A + x_C}{2}$
$3 = \frac{x_A + 7}{2}$
- 4. Adım: $x_A$ Değerini Bulalım.
- Denklemi çözerek $x_A$ değerini bulalım:
$3 \times 2 = x_A + 7$
$6 = x_A + 7$
$x_A = 6 - 7$
$x_A = -1$
- 5. Adım: Formülü Uygulayalım - y Koordinatları İçin.
- Şimdi de $y$ koordinatları için orta nokta formülünü uygulayalım:
$y_B = \frac{y_A + y_C}{2}$
$5 = \frac{y_A + 1}{2}$
- 6. Adım: $y_A$ Değerini Bulalım.
- Denklemi çözerek $y_A$ değerini bulalım:
$5 \times 2 = y_A + 1$
$10 = y_A + 1$
$y_A = 10 - 1$
$y_A = 9$
- 7. Adım: $A$ Noktasının Koordinatlarını Belirleyelim.
- Bulduğumuz $x_A = -1$ ve $y_A = 9$ değerlerini birleştirerek $A$ noktasının koordinatlarını yazalım:
$A(-1, 9)$
- 8. Adım: Seçeneklerle Karşılaştıralım.
- Bulduğumuz $A(-1, 9)$ koordinatları, seçeneklerdeki A) $(-1, 9)$ ile eşleşmektedir.
Bu adımları takip ederek $A$ noktasının koordinatlarını kolayca bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
