$f(x) = 2\sin(x/2 + \pi/4)$ fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Esas periyodu $4\pi$'dir.Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda verilen trigonometrik fonksiyonun grafiği ile ilgili ifadelerin doğruluğunu tek tek inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = 2\sin(x/2 + \pi/4)$ şeklindedir.
Bir $y = A\sin(Bx+C)$ fonksiyonunun esas periyodu $T = \frac{2\pi}{|B|}$ formülü ile bulunur. Bizim fonksiyonumuzda $B = 1/2$'dir.
O halde esas periyot $T = \frac{2\pi}{|1/2|} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ olarak bulunur. Bu ifade doğrudur.
Bir $y = A\sin(Bx+C) + D$ fonksiyonunun görüntü kümesi $[D-|A|, D+|A|]$ aralığıdır. Bizim fonksiyonumuzda $A=2$ ve $D=0$'dır (fonksiyona eklenen sabit bir terim yoktur).
Bu durumda görüntü kümesi $[0-|2|, 0+|2|] = [-2, 2]$ olur. Bu ifade doğrudur.
Bu ifadeyi kontrol etmek için fonksiyonda $x$ yerine $0$ yazalım:
$f(0) = 2\sin(0/2 + \pi/4)$
$f(0) = 2\sin(\pi/4)$
$\sin(\pi/4)$ değeri $\sin(45^\circ)$'ye eşittir ve $\frac{\sqrt{2}}{2}$'dir.
$f(0) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
Bu ifade doğrudur.
Bu ifadeyi kontrol etmek için fonksiyonda $x$ yerine $\pi/2$ yazalım:
$f(\pi/2) = 2\sin((\pi/2)/2 + \pi/4)$
$f(\pi/2) = 2\sin(\pi/4 + \pi/4)$
$f(\pi/2) = 2\sin(2\pi/4)$
$f(\pi/2) = 2\sin(\pi/2)$
$\sin(\pi/2)$ değeri $\sin(90^\circ)$'ye eşittir ve $1$'dir.
$f(\pi/2) = 2 \cdot 1 = 2$
Bu ifade doğrudur.
Bir fonksiyonun grafiğinin orijinden geçmesi için $f(0)=0$ koşulunu sağlaması gerekir. C seçeneğinde $x=0$ için fonksiyonun değerini hesaplamıştık.
$f(0) = \sqrt{2}$ bulmuştuk.
$\sqrt{2} \neq 0$ olduğu için fonksiyonun grafiği orijinden geçmez. Bu ifade yanlıştır.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda yanlış olan ifadenin E seçeneğinde olduğu görülmüştür.
Cevap E seçeneğidir.
