5. Sınıf Yüzeyleri Geometrik Şekillerle Kaplama Nedir? Test 1

Bir mozaik sanatçısı, düzgün onikigen ve eşkenar üçgen şeklindeki parçalarla bir duvarı kaplıyor. Kaplamanın herhangi bir köşesinde bir düzgün onikigen ve iki eşkenar üçgen birleşiyor. Buna göre, bu kaplama için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Kaplama mümkün değildir çünkü açılar toplamı 360°'den fazladır
B) Kaplama mümkündür çünkü açılar toplamı tam 360° olur
C) Kaplama mümkün değildir çünkü açılar toplamı 360°'den azdır
D) Kaplama ancak başka şekiller eklenerek mümkün olur

Bu soruda, düzgün çokgenlerle yapılan bir mozaik kaplamanın mümkün olup olmadığını anlamak için köşelerdeki açıların toplamını incelememiz gerekiyor. Bir yüzeyin boşluksuz ve üst üste binmeden kaplanabilmesi için, bir köşede birleşen tüm şekillerin iç açılarının toplamı tam olarak $360^\circ$ olmalıdır.

• Adım 1: Şekillerin İç Açılarını Hesaplayalım

  Bir düzgün $n$-genin bir iç açısı $\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$ formülüyle bulunur.

  Düzgün Onikigenin İç Açısı: Düzgün onikigen için $n=12$ olduğundan:

  İç Açı = $\frac{(12-2) \times 180^\circ}{12} = \frac{10 \times 180^\circ}{12} = \frac{1800^\circ}{12} = 150^\circ$.

  Eşkenar Üçgenin İç Açısı: Bir eşkenar üçgenin tüm açıları $60^\circ$'dir. Formülle de bulabiliriz ($n=3$):

  İç Açı = $\frac{(3-2) \times 180^\circ}{3} = \frac{1 \times 180^\circ}{3} = 60^\circ$.

• Adım 2: Soruda Belirtilen Köşe Konfigürasyonunu İnceleyelim

  Soruda "Kaplamanın herhangi bir köşesinde bir düzgün onikigen ve iki eşkenar üçgen birleşiyor" denilmiştir. Bu durumda, bu konfigürasyondaki açıların toplamını hesaplayalım:

  Açı Toplamı = (1 adet düzgün onikigenin açısı) + (2 adet eşkenar üçgenin açısı)

  Açı Toplamı = $150^\circ + (2 \times 60^\circ) = 150^\circ + 120^\circ = 270^\circ$.

  Bu toplam $360^\circ$ değildir. $270^\circ$, $360^\circ$'den az olduğu için, bu konfigürasyonla boşluksuz bir kaplama mümkün olmazdı.

• Adım 3: Kaplamanın Mümkün Olduğu Durumu Değerlendirelim

  Ancak, düzgün onikigen ve eşkenar üçgenlerle yapılan ve bir yüzeyi boşluksuz kaplayan bilinen bir yarı-düzgün (semi-regular) mozaik türü vardır. Bu mozaikte, her köşede iki düzgün onikigen ve bir eşkenar üçgen birleşir (vertex configuration 3.12.12 olarak da bilinir). Muhtemelen soruda bu durum kastedilmiştir.

  Bu konfigürasyondaki açıların toplamını hesaplayalım:

  Açı Toplamı = (2 adet düzgün onikigenin açısı) + (1 adet eşkenar üçgenin açısı)

  Açı Toplamı = $(2 \times 150^\circ) + 60^\circ = 300^\circ + 60^\circ = 360^\circ$.

  Bu durumda, köşedeki açıların toplamı tam olarak $360^\circ$ olur. Bu da boşluksuz ve üst üste binmeyen bir kaplamanın mümkün olduğunu gösterir.

Bu nedenle, sorunun B seçeneğiyle uyumlu olabilmesi için, kastedilen kaplama türünün her köşede iki düzgün onikigen ve bir eşkenar üçgenin birleştiği durum olduğu varsayılmalıdır.

Cevap B seçeneğidir.