Bir $ABC$ üçgeninde $a=6$ cm, $m(\hat{A})=30^\circ$ ve $m(\hat{B})=45^\circ$ olduğuna göre, $b$ kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
A) $6\sqrt{2}$Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda bir üçgende iki açı ve bir kenar uzunluğu verilmiş. Bizden diğer bir kenar uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bu tür problemlerde genellikle Sinüs Teoremi'ni kullanırız. Sinüs Teoremi, bir üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri arasındaki ilişkiyi gösterir.
1. Sinüs Teoremi'ni Hatırlayalım:
Bir $ABC$ üçgeninde, kenar uzunlukları $a, b, c$ ve bu kenarların karşısındaki açılar $A, B, C$ olmak üzere Sinüs Teoremi şu şekildedir:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
Bizim problemimizde $a$ kenarı, $A$ açısı ve $B$ açısı biliniyor. $b$ kenarını bulmak istiyoruz. Bu yüzden Sinüs Teoremi'nin ilk iki kısmını kullanacağız:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
2. Verilen Değerleri Yerine Yazalım:
Soruda verilen değerler:
Bu değerleri Sinüs Teoremi formülüne yerleştirelim:
$\frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$
3. Özel Açıların Sinüs Değerlerini Bulalım:
Trigonometride sıkça karşılaştığımız özel açıların sinüs değerlerini bilmemiz gerekiyor:
4. Değerleri Formülde Yerine Koyup $b$'yi Çözelim:
Şimdi bulduğumuz sinüs değerlerini denklemimize yerleştirelim:
$\frac{6}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
Denklemi basitleştirelim:
$6 \times 2 = b \times \frac{2}{\sqrt{2}}$
$12 = b \times \frac{2}{\sqrt{2}}$
$12 = b\sqrt{2}$ (Çünkü $\frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$)
Şimdi $b$'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı $\sqrt{2}$'ye bölelim:
$b = \frac{12}{\sqrt{2}}$
Paydayı rasyonel yapmak için kesri $\sqrt{2}$ ile çarpalım (hem payı hem paydayı):
$b = \frac{12 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}$
$b = \frac{12\sqrt{2}}{2}$
$b = 6\sqrt{2}$ cm
Böylece $b$ kenarının uzunluğunu $6\sqrt{2}$ cm olarak bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
