10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 2. senaryo test 1

$24$ ve $36$ sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) kaçtır?

A) $6$
B) $8$
C) $12$
D) $18$
E) $24$

En büyük ortak bölen (EBOB), iki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen en büyük sayıdır. Şimdi $24$ ve $36$ sayılarının EBOB'unu adım adım bulalım.

• Adım 1: Sayıları Asal Çarpanlarına Ayıralım.

Asal sayılar, sadece $1$'e ve kendisine bölünebilen sayılardır ($2, 3, 5, 7, ...$). Sayıları asal çarpanlarına ayırmak, EBOB'u bulmanın en güvenilir yollarından biridir.

$24$ sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

$24 \div 2 = 12$
$12 \div 2 = 6$
$6 \div 2 = 3$
$3 \div 3 = 1$

Buna göre, $24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3^1$ şeklinde yazılır.

$36$ sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

$36 \div 2 = 18$
$18 \div 2 = 9$
$9 \div 3 = 3$
$3 \div 3 = 1$

Buna göre, $36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2$ şeklinde yazılır.

• Adım 2: Ortak Asal Çarpanları Belirleyelim.

Şimdi her iki sayının asal çarpanlarına ayrılmış hallerini karşılaştıralım:

$24 = 2^3 \times 3^1$
$36 = 2^2 \times 3^2$

Gördüğümüz gibi, her iki sayıda da ortak olan asal çarpanlar $2$ ve $3$'tür.

• Adım 3: Ortak Asal Çarpanların En Küçük Üslülerini Seçelim.

EBOB'u bulmak için, ortak olan her asal çarpanın üssü en küçük olanını seçmeliyiz:

Asal çarpan $2$ için: $2^3$ ($24$'ün çarpanı) ve $2^2$ ($36$'nın çarpanı) var. Bu ikisi arasındaki en küçük üslü olanı $2^2$'dir.

Asal çarpan $3$ için: $3^1$ ($24$'ün çarpanı) ve $3^2$ ($36$'nın çarpanı) var. Bu ikisi arasındaki en küçük üslü olanı $3^1$'dir.

• Adım 4: Seçtiğimiz Asal Çarpanları Çarparak EBOB'u Bulalım.

Şimdi Adım 3'te seçtiğimiz bu çarpanları çarpalım:

EBOB$(24, 36) = 2^2 \times 3^1 = (2 \times 2) \times 3 = 4 \times 3 = 12$

Böylece $24$ ve $36$ sayılarının en büyük ortak böleninin $12$ olduğunu buluruz. Bu, hem $24$'ü hem de $36$'yı tam bölen en büyük sayıdır.

Cevap C seçeneğidir.